Trong không gian $Oxyz$, giao tuyến của hai mặt phẳng $(\alpha ):x+2y+z-1=0$ và $(\beta ):x-y-z+2=0$ có phương trình là

Gọi $d=(\alpha )\cap (\beta )$.
Các vectơ pháp tuyến của $(\alpha )$ và $(\beta )$ là ${\vec{n}}_{\alpha }=(1;2;1)$ và ${\vec{n}}_{\beta }=(1;-1;-1)$.
Vectơ chỉ phương của giao tuyến $d$ là:
${\vec{u}}_d=[{\vec{n}}_{\alpha },{\vec{n}}_{\beta }]=(2(-1)-1(-1);1(1)-1(-1);1(-1)-2(1))=(-1;2;-3)$, cùng phương với $(1;-2;3)$.

Tìm một điểm thuộc giao tuyến: cho $z=0$, ta có hệ:
$\{\begin{array}{l}x+2y=1\\ x-y=-2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}3y=3\\ x=y-2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=-1\\ y=1\end{array}$
Vậy điểm $M(-1;1;0)\in d$.
Phương trình tham số của đường thẳng $d$ đi qua $M(-1;1;0)$ với VTCP $(1;-2;3)$ là:
$\{\begin{array}{l}x=-1+t\\ y=1-2t\\ z=3t\end{array}$.