Cho hàm số $f(x)=2x^3+a{x}^2+bx+c$ có $f(0)=2f^{\prime }(0)$ và $f(x)\ge 2f^{\prime }(x)$ với mọi $x\ge -1$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của $a\in (14;2024]$ để hàm số $f(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$?

Ta có $f^{\prime }(x)=6x^2+2ax+b$. Khi đó $f(0)=c$ và $f^{\prime }(0)=b\Rightarrow c=2b$.
Điều kiện $f(x)\ge 2f^{\prime }(x),\forall x\ge -1\iff 2x^3+a{x}^2+bx+c\ge 2(6x^2+2ax+b)=12x^2+4ax+2b$.
Vì $c=2b$ nên bất phương trình tương đương: $2x^3+(a-12)x^2+(b-4a)x\ge 0,\forall x\ge -1$.
Hàm số $f(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}\iff f^{\prime }(x)=6x^2+2ax+b\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\iff {\Delta }^{\prime }=a^2-6b\le 0\iff b\ge \frac{a^2}{6}$.
Kết hợp hai điều kiện trên ta tìm được các giá trị nguyên của $a\in (14;2024]$ thỏa mãn là 10 giá trị. Vậy chọn A.