Cho $x$ và $y$ là các số thực dương thỏa mãn ${\log }_9\frac{x}{9}+{\log }_{3}y=\frac{9-x{y}^2}{y^2}$. Khi $P=x+6y$ đạt giá trị nhỏ nhất thì giá trị của $\frac{x}{2y}$ bằng

Biến đổi giả thiết:
$\frac{1}{2}{\log }_{3}x-1+{\log }_{3}y=\frac{9}{y^2}-x\iff {\log }_3(x{y}^2)+2x=\frac{18}{y^2}+2$.
Sử dụng tính đơn điệu của hàm số đặc trưng ta rút ra mối liên hệ giữa $x$ và $y$. Khi đó áp dụng bất đẳng thức Cauchy tìm giá trị nhỏ nhất của $P=x+6y$, tại điểm rơi cực trị ta có tỉ số $\frac{x}{2y}=\frac{3}{2}$. Vậy chọn D.