Cho hàm số $f(x)=\sqrt{2x+x^2}$ và $g(x)=\frac{1}{2}{x}^2+x-5$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2: a) Với $x\in (-\infty ;-2)\cup (0;+\infty )$, $f^{\prime }(x)=\frac{2+2x}{2\sqrt{2x+x^2}}=\frac{x+1}{\sqrt{2x+x^2}}$ → đúng. b) $g^{\prime }(x)=x+1$, tại $x=1$ hệ số góc $g^{\prime }(1)=2$ → đúng. c) $f^{\prime }(x)\cdot f(x)=\frac{x+1}{\sqrt{2x+x^2}}\cdot \sqrt{2x+x^2}=x+1=g^{\prime }(x)$ nên $f^{\prime }(x)f(x)-g^{\prime }(x)=0$ → đúng. d) $f^{\prime }(x)f(x)+g(x)=(x+1)+\frac{x^2}{2}+x-5=\frac{x^2}{2}+2x-4\le 2\iff x^2+4x-12\le 0\iff -6\le x\le 2$. Các nghiệm nguyên âm thỏa mãn (kể cả xét theo tập xác định của $f^{\prime }$, tức $x<-2$ hoặc $x>0$): nếu tính đại số $\frac{x^2}{2}+2x-4\le 2$ thì các số nguyên âm là $-6,-5,-4,-3,-2,-1$ (6 số); nếu xét chặt theo tập xác định $x<-2$ thì chỉ có $-6,-5,-4,-3$ (4 số). Cả hai cách đều không cho 7 nghiệm → ý d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{2+2x}{2\sqrt{2x+x^2}}=\frac{x+1}{\sqrt{2x+x^2}}$ với $x\in (-\infty ;-2)\cup (0;+\infty )$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$g^{\prime }(x)=x+1$ nên $g^{\prime }(1)=2$, hệ số góc của tiếp tuyến bằng 2.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)f(x)=x+1=g^{\prime }(x)$ nên $f^{\prime }(x)f(x)-g^{\prime }(x)=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình tương đương $\frac{x^2}{2}+2x-4\le 2\iff -6\le x\le 2$; số nghiệm nguyên âm là 6 (hoặc 4 nếu xét tập xác định của $f^{\prime }$), không phải 7.