Cho hàm số $f(x)=\frac{ax-1}{bx+c}$ ($a,b,c\in \mathbb{R}$) có bảng biến thiên như sau:



Khẳng định nào dưới đây là đúng?

Từ bảng biến thiên ta có:
- Tiệm cận đứng $x=3⟹-\frac{c}{b}=3⟹c=-3b$.
- Tiệm cận ngang $y=\frac{1}{2}⟹\frac{a}{b}=\frac{1}{2}⟹a=\frac{1}{2}b$.
Đạo hàm của hàm số: $f^{\prime }(x)=\frac{ac-(-1)b}{(bx+c{)}^2}=\frac{ac+b}{(bx+c{)}^2}$.
Từ bảng biến thiên, hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định $⟹f^{\prime }(x)<0,\forall x\ne 3$.
$⟹ac+b<0⟺\left(\frac{1}{2}b\right)(-3b)+b<0⟺-\frac{3}{2}{b}^2+b<0⟺b\left(1-\frac{3}{2}b\right)<0$.
$⟺[\begin{array}{l}b>\frac{2}{3}\\ b<0\end{array}$.