Cho hàm số $f(x)$ có bảng biến thiên sau:



Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $f(2\tan x)=2m+1$ có nghiệm thuộc khoảng $(0;\frac{\pi }{4})$.

Đặt $t=2\tan x$. Với $x\in (0;\frac{\pi }{4})$ thì $\tan x\in (0;1)⟹t\in (0;2)$.
Phương trình $f(2\tan x)=2m+1$ có nghiệm thuộc $(0;\frac{\pi }{4})$ khi và chỉ khi phương trình $f(t)=2m+1$ có nghiệm thuộc khoảng $(0;2)$.
Dựa vào bảng biến thiên, trên khoảng $(0;2)$ hàm số $f(t)$ nhận giá trị trong khoảng $(-1;3)$.
Do đó: $-1<2m+1<3⟺-2<2m<2⟺-1<m<1$.