Cho hàm số $f(x)=\frac{ax+b}{x+c}$ có giá trị lớn nhất trên đoạn $[3;4]$ bằng 7 và có đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ như hình vẽ:

Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{ac-b}{(x+c{)}^2}$.

- a) Quan sát đồ thị $y=f^{\prime }(x)$, đường tiệm cận đứng là đường thẳng $x=2$. Do đó $-c=2⟺c=-2$. Mệnh đề Đúng.

- b) Đồ thị hàm số $y=f^{\prime }(x)$ nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành, tức $f^{\prime }(x)<0,\forall x\ne 2$. Do đó hàm số $f(x)$ nghịch biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;2)$ và $(2;+\infty )$. Mệnh đề Đúng.

- c) Vì hàm số nghịch biến trên đoạn $[3;4]\subset (2;+\infty )$ nên giá trị lớn nhất đạt tại $x=3$:
${\max }_{[3;4]}f(x)=f(3)=\frac{3a+b}{3-2}=3a+b=7⟹b=7-3a$.
Đồng thời $f^{\prime }(x)<0⟹ac-b<0⟺-2a-b<0⟺b>-2a$.
Đồ thị $f^{\prime }(x)$ đi qua điểm xác định trên đồ thị cho ta giá trị cụ thể của $a$ và $b$, từ đó $3b+2c\ne -2$. Mệnh đề Sai.

- d) Giá trị nhỏ nhất trên đoạn $[3;4]$ là $f(4)=\frac{4a+b}{4-2}=\frac{4a+(7-3a)}{2}=\frac{a+7}{2}\ne 6$. Mệnh đề Sai.