Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là $10\text{ km}$), hai khinh khí cầu $A$ và $B$ bay với vectơ vận tốc lần lượt là ${\vec{v}}_a=(1;2;0)$ và ${\vec{v}}_b=(-2;3;0)$ (đơn vị là $\text{km/giờ}$). Tại thời điểm $t=0$, vị trí của khinh khí cầu $A$ là $M(5;4;2)$ và vị trí của khinh khí cầu $B$ là $N(6;5;3)$. Hai khinh khí cầu sẽ bay trong 10 giờ tiếp theo và dừng lại.

Theo đề bài, toạ độ các vị trí theo thời gian $t\text{ (giờ)}$ với $0\le t\le 10$ là:
- Khinh khí cầu $A$: $M_t=(5+t;4+2t;2)$.
- Khinh khí cầu $B$: $N_t=(6-2t;5+3t;3)$.

- a) Sau $t=3$ giờ, vị trí của $A$ là $M_3=(5+3;4+6;2)=(8;10;2)=M^{\prime }$. Mệnh đề Đúng.

- b) Khinh khí cầu $B$ ở vị trí $N^{\prime }(0;14;3)⟺6-2t=0⟺t=3$. Khi đó $5+3(3)=14$ và cao độ bằng 3. Vì $t=3\in [0;10]$ nên khinh khí cầu $B$ có bay qua vị trí $N^{\prime }$. Do đó nhận định "không bay qua" là Sai. Mệnh đề Sai.

- c) Tại $t=3$, $M^{\prime }(8;10;2)$ và $N^{\prime }(0;14;3)$. Khoảng cách theo toạ độ là:
$d=\sqrt{(8-0{)}^2+(10-14{)}^2+(2-3{)}^2}=\sqrt{64+16+1}=\sqrt{81}=9\text{ (đơn vị toạ độ)}$.
Do đơn vị mỗi trục là $10\text{ km}$, khoảng cách thực tế là $9\times 10=90\text{ km}\ne 9\text{ km}$. Mệnh đề Sai.

- d) Khoảng cách giữa hai khinh khí cầu theo đơn vị trục tại thời điểm $t$ là:
$d(t)=\sqrt{[(5+t)-(6-2t){]}^2+[(4+2t)-(5+3t){]}^2+(2-3{)}^2}=\sqrt{(3t-1{)}^2+(-t-1{)}^2+1}=\sqrt{10t^2-4t+3}$.
Tam thức $g(t)=10t^2-4t+3$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $t=\frac{4}{20}=0,2\text{ giờ}\in [0;10]$.
Khi đó $g(0,2)=10(0,04)-4(0,2)+3=2,6$.
Khoảng cách thực tế nhỏ nhất là $\sqrt{2,6}\times 10\approx 1,61245\times 10\approx 16,1\text{ km}$. Mệnh đề Đúng.