Một doanh nghiệp sản xuất đồ gỗ nội thất cần mỗi ngày 5 khối gỗ để làm các sản phẩm nội thất. Chi phí một lần vận chuyển gỗ từ cơ sở cung cấp gỗ đến nơi sản xuất của doanh nghiệp là 8 triệu đồng, chi phí lưu kho tại doanh nghiệp của 1 khối gỗ là 200 ngàn đồng trên 1 ngày. Mỗi lần vận chuyển, gỗ sẽ được đưa đến đầu ngày làm việc và lượng gỗ được vận chuyển vừa đủ cho doanh nghiệp sử dụng từ ngày hôm đó cho đến lần vận chuyển tiếp theo. Hỏi doanh nghiệp cần vận chuyển gỗ mấy ngày một lần để chi phí trung bình trong một ngày là nhỏ nhất?

Gọi $n\text{ (ngaˋy)}$ là khoảng thời gian giữa hai lần vận chuyển liên tiếp ($n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$).
Số khối gỗ mỗi lần vận chuyển là $5n{\text{ m}}^3$.

- Ngày thứ 1 dùng 5 khối, cuối ngày còn lưu kho $5n-5=5(n-1)$ khối.
- Ngày thứ 2 dùng 5 khối, cuối ngày còn lưu kho $5n-10=5(n-2)$ khối.
...
- Ngày thứ $n-1$ dùng 5 khối, cuối ngày còn lưu kho 5 khối.
- Ngày thứ $n$ dùng hết 5 khối còn lại, cuối ngày không còn lưu kho.

Tổng số lượt khối gỗ lưu kho trong chu kỳ $n$ ngày là:
$5[(n-1)+(n-2)+\cdots +1]=5\cdot \frac{n(n-1)}{2}\text{ (lượt khoˆˊi)}$.

Chi phí lưu kho trong chu kỳ là $5\cdot \frac{n(n-1)}{2}\times 0,2=0,5n(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}\text{ (triệu đoˆˋng)}$.

Tổng chi phí vận chuyển và lưu kho trong chu kỳ $n$ ngày là $8+\frac{n(n-1)}{2}\text{ (triệu đoˆˋng)}$.

Chi phí trung bình một ngày là:
$f(n)=\frac{8+\frac{n(n-1)}{2}}{n}=\frac{8}{n}+\frac{n-1}{2}=\frac{8}{n}+\frac{n}{2}-0,5$.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương $\frac{8}{n}$ và $\frac{n}{2}$:
$\frac{8}{n}+\frac{n}{2}\ge 2\sqrt{\frac{8}{n}\cdot \frac{n}{2}}=2\sqrt{4}=4$.

Do đó $f(n)\ge 4-0,5=3,5\text{ triệu đoˆˋng}$.

Dấu bằng xảy ra khi $\frac{8}{n}=\frac{n}{2}⟺n^2=16⟺n=4$.

Vậy doanh nghiệp cần vận chuyển gỗ 4 ngày một lần.