Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}2x-1& \text{khi }x>0\\ x^2-x-1& \text{khi }x\le 0\end{array}$. Tích phân ${\int }_{-1/2}^{1/2}x{f}^{\prime }(2x)dx$ bằng

Đặt $t=2x⟹x=\frac{t}{2},dx=\frac{dt}{2}$.
Đổi cận: $x=-1/2⟹t=-1$; $x=1/2⟹t=1$.
Tích phân trở thành:
$I={\int }_{-1}^1\frac{t}{2}{f}^{\prime }(t)\frac{dt}{2}=\frac{1}{4}{\int }_{-1}^{1}t{f}^{\prime }(t)dt$.
Ta có:
- Với $t>0$: $f(t)=2t-1⟹f^{\prime }(t)=2$.
- Với $t<0$: $f(t)=t^2-t-1⟹f^{\prime }(t)=2t-1$.
Do đó:
${\int }_{-1}^{1}t{f}^{\prime }(t)dt={\int }_{-1}^{0}t(2t-1)dt+{\int }_0^{1}t\cdot 2dt$.
Tính từng tích phân:
${\int }_{-1}^0(2t^2-t)dt={\left(\frac{2t^3}{3}-\frac{t^2}{2}\right)|}_{-1}^0=0-\left(-\frac{2}{3}-\frac{1}{2}\right)=\frac{7}{6}$.
${\int }_0^{1}2tdt={t^2|}_0^1=1$.
Vậy ${\int }_{-1}^{1}t{f}^{\prime }(t)dt=\frac{7}{6}+1=\frac{13}{6}$.
Suy ra $I=\frac{1}{4}\times \frac{13}{6}=\frac{13}{24}$.