Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $|z|=1$ và $|5(z-\bar{z})-8-6i|=12$?

Đặt $z=x+yi$ với $x,y\in \mathbb{R}$.
Vì $|z|=1$ nên $x^2+y^2=1⟹-1\le y\le 1$.
Ta có $z-\bar{z}=2yi$.
Khi đó: $5(z-\bar{z})-8-6i=10yi-8-6i=-8+(10y-6)i$.
$|5(z-\bar{z})-8-6i|=12⟺(-8{)}^2+(10y-6{)}^2=12^2=144$
$⟺64+(10y-6{)}^2=144⟺(10y-6{)}^2=80⟺10y-6=\pm 4\sqrt{5}$
$⟺y=\frac{6\pm 4\sqrt{5}}{10}=\frac{3\pm 2\sqrt{5}}{5}$.
- Với $y_1=\frac{3+2\sqrt{5}}{5}\approx 1,494>1$ (loại vì không thỏa mãn $-1\le y\le 1$).
- Với $y_2=\frac{3-2\sqrt{5}}{5}\approx -0,294\in [-1;1]$ (thỏa mãn).
Với giá trị $y_2$, ta có $x^2=1-y_2^2>0⟹x=\pm \sqrt{1-y_2^2}$ cho ta đúng 2 giá trị của $x$.
Vậy có tất cả 2 số phức $z$ thỏa mãn.