Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh $2a$, $\widehat{ABC}=60^{\circ }$, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, mặt bên $(SCD)$ tạo với đáy một góc $60^{\circ }$. Thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng

Tam giác $ABC$ có $AB=BC=2a$ và $\widehat{ABC}=60^{\circ }$ nên tam giác $ABC$ đều cạnh $2a$.
Diện tích tam giác $ABC$ là $S_{△ABC}=\frac{(2a{)}^2\sqrt{3}}{4}=a^2\sqrt{3}$.
Hạ $AH\perp CD$ tại $H$. Vì $SA\perp (ABCD)⟹SA\perp CD$, do đó $CD\perp (SAH)$, suy ra góc giữa $(SCD)$ và đáy là góc $\widehat{SHA}=60^{\circ }$.
Vì tam giác $ADC$ đều cạnh $2a$ nên khoảng cách từ $A$ đến $CD$ là đường cao của tam giác đều: $AH=\frac{2a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$.
Trong tam giác vuông $SAH$: $SA=AH\cdot \tan 60^{\circ }=a\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=3a$.
Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:
$V_{S.ABC}=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}\cdot SA=\frac{1}{3}{a}^2\sqrt{3}\cdot 3a=a^3\sqrt{3}$.