Cho hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^2+ax+b}{x^2-9}& \text{khi }x>3\\ \sqrt{4x^2-cx+9}+dx& \text{khi }x\le 3\end{array}$ liên tục trên tập hợp $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)+\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\frac{7}{4}$ (với $a,b,c,d\in \mathbb{R}$). Giá trị của tổng $a+b+c+d$ bằng bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^2+ax+b}{x^2-9},& x>3\\ \sqrt{4x^2-cx+9}+dx,& x\le 3\end{array}$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

**Tính $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$:** $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2+ax+b}{x^2-9}=1$.

**Tính $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$:** Với $x\to -\infty$, đặt $x=-t$, $t\to +\infty$:
$$\sqrt{4x^2-cx+9}=\sqrt{4t^2+ct+9}=2t\sqrt{1+\frac{c}{4t}+\frac{9}{4t^2}}=2t+\frac{c}{4}+o(1)=-2x+\frac{c}{4}+o(1).$$
Do đó $\sqrt{4x^2-cx+9}+dx=(d-2)x+\frac{c}{4}+o(1)$. Để giới hạn này hữu hạn (để tổng hai giới hạn bằng $\frac{7}{4}$) thì phải có $d=2$, khi đó $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=\frac{c}{4}$.

Điều kiện đã cho: $\frac{c}{4}+1=\frac{7}{4}\Rightarrow c=3$. Vậy $d=2$, $c=3$.

**Liên tục tại $x=3$:** Giá trị trái: $f(3)=\sqrt{36-9+9}+3\cdot 2=6+6=12$.

Giá trị phải: hàm số liên tục tại $x=3$ (bên phải) đòi hỏi $x=3$ là nghiệm của tử số $x^2+ax+b$, tức $9+3a+b=0$, và
$$\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{x^2+ax+b}{x^2-9}=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{2x+a}{2x}=\frac{6+a}{6}.$$

Liên tục tại $x=3$: $\frac{6+a}{6}=12\Rightarrow a=66$; suy ra $b=-9-3a=-9-198=-207$.

**Tổng:** $a+b+c+d=66+(-207)+3+2=-136$.

Kiểm tra lại: với $a=66,b=-207$: $x^2+66x-207=(x-3)(x+69)$, nên $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }f(x)=\frac{x+69}{x+9}{|}_{x=3}=\frac{72}{12}=6$... xét lại: $\frac{(x-3)(x+69)}{(x-3)(x+3)}=\frac{x+69}{x+3}\to \frac{72}{6}=12$. ✓. Tổng hai giới hạn: $\frac{3}{4}+1=\frac{7}{4}$. ✓.

Kết quả khớp với đáp án nguồn: $a+b+c+d=-136$.