Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm và liên tục trên $\mathbb{R}$, thỏa mãn $f^{\prime }(x)+xf(x)=2x{e}^{-x^2}$ và $f(0)=-2$. Tính $f(1)$.

Chọn C.
Nhân cả hai vế của phương trình với $e^{\frac{x^2}{2}}$:
$$e^{\frac{x^2}{2}}{f}^{\prime }(x)+x{e}^{\frac{x^2}{2}}f(x)=2x{e}^{-x^2}{e}^{\frac{x^2}{2}}⟺{\left[e^{\frac{x^2}{2}}f(x)\right]}^{\prime }=2x{e}^{-\frac{x^2}{2}}.$$
Lấy nguyên hàm hai vế:
$$e^{\frac{x^2}{2}}f(x)=\int 2x{e}^{-\frac{x^2}{2}}dx=-2e^{-\frac{x^2}{2}}+C.$$
Suy ra $f(x)=-2e^{-x^2}+C{e}^{-\frac{x^2}{2}}$.
Theo giả thiết $f(0)=-2⟹-2+C=-2⟹C=0$.
Do đó $f(x)=-2e^{-x^2}$.
Tại $x=1$: $f(1)=-2e^{-1}=-\frac{2}{e}$.