Cho hàm số $f(x)$ có $f(0)=0$ và $f^{\prime }(x)=(2x+1)e^{2x},\forall x\in \mathbb{R}$. Khi đó ${\int }_0^{1}f(x)dx$ bằng

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 42 chọn đáp án A.

Tìm $f(x)=\int (2x+1)e^{2x}dx$:
Đặt $u=2x+1\Rightarrow du=2dx$; $dv=e^{2x}dx\Rightarrow v=\frac{1}{2}{e}^{2x}$.
$f(x)=\frac{1}{2}(2x+1)e^{2x}-\int e^{2x}dx=\frac{1}{2}(2x+1)e^{2x}-\frac{1}{2}{e}^{2x}+C=x{e}^{2x}+C$.
Vì $f(0)=0\Rightarrow 0\cdot e^0+C=0\Rightarrow C=0$, do đó $f(x)=x{e}^{2x}$.
Tính tích phân $I={\int }_0^{1}x{e}^{2x}dx$:
Đặt $u=x\Rightarrow du=dx$; $dv=e^{2x}dx\Rightarrow v=\frac{1}{2}{e}^{2x}$.
$I=\frac{1}{2}x{e}^{2x}{|}_0^1-\frac{1}{2}{\int }_0^1{e}^{2x}dx=\frac{1}{2}{e}^2-\frac{1}{4}{e}^{2x}{|}_0^1=\frac{1}{2}{e}^2-\frac{1}{4}(e^2-1)=\frac{e^2+1}{4}$.

Chọn đáp án A.