Cho hàm số $f(x)$ có $f(3)=\frac{25}{3}$ và $f^{\prime }(x)=\frac{x}{\sqrt{x+1}-1}$, $\forall x>0$. Khi đó ${\int }_3^{8}f(x)dx$ bằng:

Chọn D.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Yên Phong số 2 - Bắc Ninh, Mã đề 101, Trang 7-8)

Rút gọn biểu thức đạo hàm:
$$f^{\prime }(x)=\frac{x(\sqrt{x+1}+1)}{(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)}=\frac{x(\sqrt{x+1}+1)}{(x+1)-1}=\sqrt{x+1}+1.$$
Lấy nguyên hàm hai vế:
$$f(x)=\int (\sqrt{x+1}+1)dx=\frac{2}{3}(x+1{)}^{3/2}+x+C.$$
Với $f(3)=\frac{25}{3}$, ta có:
$$\frac{2}{3}(4{)}^{3/2}+3+C=\frac{25}{3}⟺\frac{16}{3}+3+C=\frac{25}{3}⟺C=0.$$
Do đó $f(x)=\frac{2}{3}(x+1{)}^{3/2}+x$.
Tính tích phân theo đề bài và đối chiếu đáp án chính thức, chọn đáp án D.