Cho hình chóp $S.ABC$ có tam giác $SAB$ nhọn và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy $(ABC)$, tam giác $ABC$ vuông tại $C$ có $AC=a,\widehat{ABC}=30^{\circ }$. Mặt bên $(SAC)$ và $(SBC)$ cùng tạo với đáy góc bằng nhau và bằng $60^{\circ }$. Thể tích của khối chóp $S.ABC$ theo $a$ là:

Chọn A.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Yên Phong số 2 - Bắc Ninh, Mã đề 101, Trang 7-8)

Trong tam giác vuông $ABC$ tại $C$ với $AC=a,\widehat{ABC}=30^{\circ }$:
$$BC=\frac{AC}{\tan 30^{\circ }}=a\sqrt{3}⟹S_{ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}.$$
Kẻ $SH\perp AB⟹SH\perp (ABC)$. Dựng $HP\perp AC$ và $HQ\perp BC$, ta có góc giữa các mặt bên $(SAC),(SBC)$ với đáy là $\widehat{SPH}=\widehat{SQH}=60^{\circ }$.
Suy ra $HP=HQ$, tức tứ giác $HPCQ$ là hình vuông. Đặt cạnh hình vuông là $x$:
$$x\sqrt{3}=a\sqrt{3}-x⟹x=\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1}.$$
Chiều cao của khối chóp: $SH=x\cdot \tan 60^{\circ }=\frac{3a}{\sqrt{3}+1}$.
Thể tích khối chóp là:
$$V=\frac{1}{3}{S}_{ABC}\cdot SH=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{3a}{\sqrt{3}+1}=\frac{3a^3}{2(\sqrt{3}+1)}.$$