Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và đường thẳng $(d):g(x)=ax+b$ có đồ thị như hình vẽ.



Biết diện tích miền tô đậm bằng $\frac{37}{12}$ và ${\int }_0^{1}f(x)dx=\frac{19}{12}$. Tích phân ${\int }_{-1}^{0}x\cdot f^{\prime }(2x)dx$ bằng

Từ đồ thị, đường thẳng $(d)$ đi qua $(-2;-3)$ và $(1;3)\Rightarrow g(x)=2x+1$.
Diện tích miền tô đậm giới hạn bởi đồ thị $f(x)$ và $g(x)$ từ $x=-2$ đến $x=1$ bằng $\frac{37}{12}$.
Sử dụng tích phân từng phần cho ${\int }_{-1}^{0}x{f}^{\prime }(2x)dx$: đặt $u=x\Rightarrow du=dx$, $dv=f^{\prime }(2x)dx\Rightarrow v=\frac{1}{2}f(2x)$.
Khi đó ${\int }_{-1}^{0}x{f}^{\prime }(2x)dx={\left[\frac{x}{2}f(2x)\right]}_{-1}^0-\frac{1}{2}{\int }_{-1}^{0}f(2x)dx=\frac{1}{2}f(-2)-\frac{1}{4}{\int }_{-2}^{0}f(t)dt$.
Kết hợp các dữ kiện về diện tích miền hình phẳng và tích phân, ta tính được kết quả bằng $-\frac{5}{3}$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 001, trang 7), chọn A.