Cho hàm số $f(x)$ nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên $[0;2]$. Biết $f(0)=1$ và $f(x)f(2-x)=e^{2x^2-4x}$ với mọi $x\in [0;2]$. Tính tích phân $I={\int }_0^2\frac{(x^3-3x^2)f^{\prime }(x)}{f(x)}\mathrm{d}x$.

Chọn D.
Lấy logarit tự nhiên hai vế của giả thiết $f(x)f(2-x)=e^{2x^2-4x}$:
$\ln f(x)+\ln f(2-x)=2x^2-4x.$
Lấy đạo hàm hai vế theo $x$:
$\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}-\frac{f^{\prime }(2-x)}{f(2-x)}=4x-4.$
Đặt biến đổi tích phân từng phần và đổi biến $t=2-x$, kết hợp hai biểu thức suy ra giá trị $I=-\frac{16}{5}$.