Cho hàm số $f(x)$ thỏa mãn $f^{\prime }(x)[f(x){]}^2=x{e}^x$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ và $f(1)=1$. Hỏi phương trình $f(x)=\frac{1}{e}$ có bao nhiêu nghiệm?

Chọn A.
Lấy nguyên hàm hai vế của đẳng thức $f^{\prime }(x)[f(x){]}^2=x{e}^x$:
$\int [f(x){]}^2{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x=\int x{e}^x\mathrm{d}x⟺\frac{[f(x){]}^3}{3}=(x-1)e^x+C.$
Vì $f(1)=1$ nên $\frac{1}{3}=0+C⟺C=\frac{1}{3}$.
Do đó $[f(x){]}^3=3(x-1)e^x+1$.
Phương trình $f(x)=\frac{1}{e}⟺3(x-1)e^x+1=\frac{1}{e^3}⟺3(x-1)e^x=\frac{1}{e^3}-1$.
Khảo sát hàm số $g(x)=3(x-1)e^x$, phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt.