Cho hàm số $F(x)=x^2+x-6$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$.

Xét từng mệnh đề:
a) Sai: Vì $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ nên $f(x)=F^{\prime }(x)=2x+1$, không phải $\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}-6x+C$.
b) Đúng: ${\int }_1^{3}f(x)dx=F(3)-F(1)=(3^2+3-6)-(1^2+1-6)=6-(-4)=10$.
c) Sai: Vì $G(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ nên $G(x)=F(x)+C_0=x^2+x-6+C_0$. Với $G(1)=3⟹-4+C_0=3⟹C_0=7$. Khi đó $G(x)=x^2+x+1$. Ta có $G(4)=16+4+1=21,G(2)=4+2+1=7⟹G(4)+G(2)=28\ne 30$.
d) Đúng: Phương trình hoành độ giao điểm của $F(x)=0\iff x^2+x-6=0\iff x=-3$ hoặc $x=2$. Thể tích khối tròn xoay là $V=\pi {\int }_{-3}^2(x^2+x-6{)}^{2}dx=\frac{625}{6}\pi$.