Cho hàm số $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$. Nếu phương trình $f(x)=0$ có ba nghiệm thực phân biệt thì phương trình $2f(x)f^{\prime \prime }(x)=[f^{\prime }(x){]}^2$ có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm thực?

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 889, trang 7), Câu 45 chọn đáp án C.

Vì $f(x)$ là đa thức bậc 3 nên $f^{\prime }(x)$ có bậc 2 và $f^{\prime \prime }(x)$ có bậc 1.
Phương trình $2f(x)f^{\prime \prime }(x)=[f^{\prime }(x){]}^2$ có bậc $3+1=4$, tuy nhiên hệ số bậc cao nhất là $2\cdot 1\cdot 6x^4-(3x^2{)}^2=12x^4-9x^4=3x^4>0$.
Khi $f(x)=0$ có 3 nghiệm thực phân biệt, phương trình $2f(x)f^{\prime \prime }(x)=[f^{\prime }(x){]}^2$ có nhiều nhất 2 nghiệm thực.

Chọn đáp án C.