Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $4(\sqrt{2}+1{)}^x+(\sqrt{2}-1{)}^x=m$ có đúng hai nghiệm âm phân biệt.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 889, trang 7), Câu 44 chọn đáp án D.

Đặt $t=(\sqrt{2}+1{)}^x$. Vì $x<0$ và $\sqrt{2}+1>1$ nên $0<t<1$.
Phương trình trở thành $4t+\frac{1}{t}=m$.
Xét hàm số $f(t)=4t+\frac{1}{t}$ trên khoảng $(0;1)$:
$f^{\prime }(t)=4-\frac{1}{t^2}=0⟺t=\frac{1}{2}\in (0;1)$.
Bảng biến thiên của $f(t)$ trên $(0;1)$:
- $t\to 0^{+}⟹f(t)\to +\infty$.
- Tại $t=\frac{1}{2}$, $f(1/2)=4(1/2)+2=4$ (cực tiểu).
- Tại $t=1$, $f(1)=5$.
Để phương trình có đúng 2 nghiệm âm phân biệt thì đường thẳng $y=m$ phải cắt đồ thị tại 2 điểm thuộc khoảng $(0;1)$, điều này xảy ra khi và chỉ khi $4<m<5$.

Chọn đáp án D.