Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng $a$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$. Khoảng cách $d$ giữa hai đường thẳng $MN$ và $A{C}^{\prime }$ là:

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 889, trang 7), Câu 43 chọn đáp án A.

Đặt hệ trục tọa độ $Oxyz$ với gốc tại $A(0;0;0)$, các tia $Ax,Ay,Az$ lần lượt chứa các cạnh $AB,AD,A{A}^{\prime }$.
Khi đó:
$A(0;0;0),B(a;0;0),C(a;a;0),D(0;a;0),C^{\prime }(a;a;a)$.
$M\left(\frac{a}{2};0;0\right)$, $N\left(\frac{a}{2};a;0\right)$.
$\overrightarrow{MN}=(0;a;0)$, $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(a;a;a)$, $\overrightarrow{AM}=\left(\frac{a}{2};0;0\right)$.
$[\overrightarrow{MN},\overrightarrow{A{C}^{\prime }}]=(a\cdot a;0;-a\cdot a)=(a^2;0;-a^2)=a^2(1;0;-1)$.
Khoảng cách giữa $MN$ và $A{C}^{\prime }$:
$d=\frac{|[\overrightarrow{MN},\overrightarrow{A{C}^{\prime }}]\cdot \overrightarrow{AM}|}{|[\overrightarrow{MN},\overrightarrow{A{C}^{\prime }}]|}=\frac{|a^2\cdot \frac{a}{2}|}{a^2\sqrt{1^2+0^2+(-1{)}^2}}=\frac{\frac{a^3}{2}}{a^2\sqrt{2}}=\frac{a}{2\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{2}}{4}$.

Chọn đáp án A.