Cho hàm số $y=x^3-6x^2+9x+m$ có đồ thị $(C)$, với $m$ là tham số. Giả sử đồ thị $(C)$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn $x_1<x_2<x_3$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 889, trang 7), Câu 42 chọn đáp án A.

Ta có $y^{\prime }=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)=0⟺x=1$ hoặc $x=3$.
- Cực đại tại $x=1,y(1)=m+4$.
- Cực tiểu tại $x=3,y(3)=m$.
Để đồ thị $(C)$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì $y(1)\cdot y(3)<0⟺-4<m<0$.
Khi đó:
- $y(0)=m<0$ và $y(1)=m+4>0⟹x_1\in (0;1)$.
- $y(1)>0$ và $y(3)=m<0⟹x_2\in (1;3)$.
- $y(3)<0$ và $y(4)=m+4>0⟹x_3\in (3;4)$.
Vậy $0<x_1<1<x_2<3<x_3<4$.

Chọn đáp án A.