Cho hàm số $f(x)=|x^4-2x^3+x^2+m|$ ($m$ là tham số thực). Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị của $m$ sao cho ${\min }_{[-1;2]}f(x)+{\max }_{[-1;2]}f(x)=10$. Số phần tử của $S$ là

Chọn A.
Xét hàm số $g(x)=x^4-2x^3+x^2+m$ trên đoạn $[-1;2]$.
Ta có: $g^{\prime }(x)=4x^3-6x^2+2x=2x(2x^2-3x+1)=2x(x-1)(2x-1)$.
$g^{\prime }(x)=0⟺x=0,x=1,x=\frac{1}{2}$ (cả ba nghiệm đều thuộc $[-1;2]$).
Tính các giá trị của $g(x)$:
$g(-1)=1+2+1+m=m+4$,
$g(0)=m$,
$g(1/2)=\frac{1}{16}-\frac{2}{8}+\frac{1}{4}+m=m+\frac{1}{16}$,
$g(1)=1-2+1+m=m$,
$g(2)=16-16+4+m=m+4$.
Do đó trên $[-1;2]$, $\min g(x)=m$ và $\max g(x)=m+4$.
Đặt $A=m+4$ và $B=m$.
- Trường hợp 1: $B\ge 0⟺m\ge 0$.
Khi đó ${\min }_{[-1;2]}f(x)=m$ và ${\max }_{[-1;2]}f(x)=m+4$.
Theo bài ra: $m+m+4=10⟺2m=6⟺m=3$ (thỏa mãn $m\ge 0$).
- Trường hợp 2: $A\le 0⟺m+4\le 0⟺m\le -4$.
Khi đó ${\min }_{[-1;2]}f(x)=-(m+4)=-m-4$ và ${\max }_{[-1;2]}f(x)=-m$.
Theo bài ra: $(-m-4)+(-m)=10⟺-2m=14⟺m=-7$ (thỏa mãn $m\le -4$).
- Trường hợp 3: $B<0<A⟺-4<m<0$.
Vì $g(x)$ nhận cả giá trị âm và dương trên $[-1;2]$ nên $f(x)=|g(x)|$ luôn đạt giá trị nhỏ nhất bằng $0$.
Khi đó ${\max }_{[-1;2]}f(x)=\max \{|m|,|m+4|\}$.
Theo bài ra: $0+\max \{|m|,|m+4|\}=10⟺\max \{|m|,|m+4|\}=10$.
+ Nếu $|m|=10⟹m=-10$ (loại vì không thuộc $(-4;0)$).
+ Nếu $|m+4|=10⟹m=6$ hoặc $m=-14$ (loại vì không thuộc $(-4;0)$).
Do đó trường hợp này không cho thêm giá trị $m$.
Vậy tập $S=\{-7;3\}$, có đúng 2 phần tử.