Cho hàm số $f(x)=-x^4-(4-m^2)x+2020$ và $g(x)=-x^3+5x^2-2020x+2021$. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của $m$ để $h(x)=g[f(x)]$ đồng biến trên $(2;+\infty )$?

Ta có $g^{\prime }(x)=-3x^2+10x-2020=-3{\left(x-\frac{5}{3}\right)}^2-\frac{6035}{3}<0,\forall x\in \mathbb{R}$. Đạo hàm của $h(x)$ là $h^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)\cdot g^{\prime }[f(x)]$. Do $g^{\prime }[f(x)]<0$ với mọi $x$, nên $h(x)$ đồng biến trên $(2;+\infty )\iff h^{\prime }(x)\ge 0,\forall x\in (2;+\infty )\iff f^{\prime }(x)\le 0,\forall x\in (2;+\infty )$. Ta có $f^{\prime }(x)=-4x^3-(4-m^2)\le 0,\forall x>2\iff 4x^3\ge m^2-4,\forall x>2\iff m^2-4\le {\min }_{[2;+\infty )}(4x^3)=4(2^3)=32\iff m^2\le 36\iff -6\le m\le 6$. Vì $m$ nguyên dương nên $m\in \{1;2;3;4;5;6\}$ (6 giá trị). Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 199, trang 9) và hướng dẫn giải (trang 12-13), chọn B.