Cho hàm số $f(x)=2\sin x+\sqrt{3}x$.

Nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x)=e^x+2\sin x$ thỏa mãn $F(0)=20$ là

Cho hàm số $f(x)=2\sin x+\sqrt{3}x$.

Trong dây chuyền sản xuất sữa chua hiện đại của một nhà máy thực phẩm, từng giọt sữa dạng âm thầm chuyển mình dưới tác động của hàng triệu vi khuẩn Lactic, những "nghệ nhân tí hon" kiến tạo vị chua thanh đặc trưng. Mật độ vi khuẩn (số triệu tế bào trên mỗi ml sữa chua) tại thời điểm $t$ (giờ) được ký hiệu là $N(t)$. Ban đầu ($t=0$ giờ), mật độ vi khuẩn đo được là $N(0)=10$ triệu tế bào/ml. Do sự thay đổi về nguồn dinh dưỡng (đường lactose giảm) và độ pH (axit lactic tăng) nên tốc độ thay đổi mật độ vi khuẩn $N^{\prime }(t)$ (đơn vị: triệu tế bào/ml mỗi giờ) được mô hình hóa bởi công thức:
$N^{\prime }(t)=22t-3t^2$ (triệu tế bào/ml/giờ) với $t$ là thời gian tính bằng giờ ($0\le t\le 10$).

Cho $y=F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=-3x^2+4x+2$ và $F(1)=2$. Tính $F(-1)$.

Cho hàm số bậc bốn $y=f(x)$. Hàm số $y=f^{\prime }(x)$ có đồ thị như hình vẽ bên.

Trong mùa mưa lũ, nước ở trên thượng nguồn đổ dồn về hạ lưu rất mạnh nên thường làm lệch quỹ đạo chuyển động của tàu, thuyền trên sông. Giả sử trong một hệ trục tọa độ $Oxy$ cho trước, một chiếc thuyền đang ở tại điểm $A\left(4;\frac{5}{3}\right)$ và chuyển động về phía gốc tọa độ $O$. Do dòng chảy mạnh nên thuyền di chuyển trên cung đường $AB$ là một phần của đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ như hình vẽ, với $B(-1;0)$. Gọi $M$ là một điểm bất kỳ nằm trên cung đường di chuyển của chiếc thuyền. Khoảng cách từ $M$ đến $O$ ngắn nhất bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).