Cho hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3-2m{x}^2+(m-1)x+2m^2+1$ ($m$ là tham số). Xác định khoảng cách lớn nhất từ gốc tọa độ $O(0;0)$ đến đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số trên.

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là phần dư khi chia $y$ cho $y^{\prime }$.
Ta có $y^{\prime }=x^2-4mx+m-1$.
Chia $y$ cho $y^{\prime }$ được phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị:
$\Delta :y=-\frac{2}{3}(4m^2-m+1)x+\frac{2}{3}m(m-1)+2m^2+1$.
Tìm điểm cố định hoặc khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến đường thẳng $\Delta$, khoảng cách lớn nhất đạt được là $\frac{\sqrt{10}}{3}$.