Cho hàm số $y=\frac{a{x}^2+bx+c}{mx+n}$ có đồ thị như hình vẽ sau:

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng x = -1, tiệm cận xiên y = x+1 (đi qua (-1;0) và (0;1)), cực đại tại (-2;-2), cực tiểu tại (0;2). Chọn m = n = 1: y = (x²+bx+c)/(x+1) = x + b - 1 + (c-b+1)/(x+1). So với y = x+1 + k/(x+1) thì b = 2; f(0) = c = 2 nên c = 2. Vậy y = x+1 + 1/(x+1). Kiểm tra f(-2) = (4-4+2)/(-1) = -2 đúng theo đồ thị. y' = (x²+2x)/(x+1)² = x(x+2)/(x+1)², cực trị tại x = -2 và x = 0 khớp đồ thị. a) Trên (-2;0): x<0, x+2>0 nên y' < 0, hàm nghịch biến → đúng. b) Tiệm cận xiên y = x+1 → đúng. c) A(-2;-2), B(0;2): S = ½|x_A y_B - x_B y_A| = ½|(-2)(2) - 0| = 2 ≠ 8 → sai. d) Đồ thị là hyperbol có tâm đối xứng (-1;1), hai trục đối xứng có hệ số góc ±1 (y - 1 = ±(x+1)); còn tan(3π/8) = √2+1 ≈ 2,414 ≠ 1 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
y' = x(x+2)/(x+1)² < 0 trên (-2;0) nên hàm nghịch biến trên khoảng này.
b) (AI giải đề cho tôi)
y = x+1 + 1/(x+1) nên tiệm cận xiên là y = x+1, khớp đồ thị.
c) (AI giải đề cho tôi)
A(-2;-2), B(0;2) nên S_{OAB} = ½|(-2)(2)| = 2 ≠ 8.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hyperbol y = x+1 + 1/(x+1) có trục đối xứng hệ số góc ±1 qua tâm (-1;1), không phải tan(3π/8) = √2+1.