Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)=(x-1{)}^2(x^2-2x)$ với $\forall x\in \mathbb{R}$. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để hàm số $f(x^2-8x+m)$ có $5$ điểm cực trị?

Ta có: $f^{\prime }(x)=(x-1{)}^{2}x(x-2)$.
Đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi qua các nghiệm đơn $x=0$ và $x=2$ (nghiệm $x=1$ là nghiệm kép, không đổi dấu).
Xét $g(x)=f(x^2-8x+m)$:
$g^{\prime }(x)=(2x-8)f^{\prime }(x^2-8x+m)=2(x-4)(x^2-8x+m-1{)}^2(x^2-8x+m)(x^2-8x+m-2)$.
Để $g(x)$ có $5$ điểm cực trị thì phương trình $g^{\prime }(x)=0$ phải có $5$ nghiệm bội lẻ phân biệt.
Ta có một nghiệm đơn $x=4$. Do đó hệ gồm hai phương trình:
$[<table><tbody><tr><td>x^2-8x+m=0</td></tr><tr><td>x^2-8x+m-2=0</td></tr></tbody></table>$
phải có $4$ nghiệm phân biệt khác $4$.
Xét parabol $u(x)=x^2-8x+m$. Đỉnh parabol tại $x=4$ có giá trị nhỏ nhất là $u(4)=m-16$.
Để hai đường thẳng $u=0$ và $u=2$ cắt parabol tại $4$ điểm phân biệt thì giá trị cực tiểu của parabol phải nhỏ hơn $0$:
$m-16<0⟺m<16$.
Vì $m$ là số nguyên dương nên $m\in \{1;2;\dots ;15\}$.
Vậy có $15$ giá trị thỏa mãn.
Chọn đáp án C.