Cho $x,y$ là các số thực thỏa mãn $1<x<\sqrt{y}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$P=({\log }_{x}y-1{)}^2+8{\left({\log }_{\frac{\sqrt{y}}{x}}\sqrt{\frac{y}{x}}\right)}^2$.

Từ $1<x<\sqrt{y}⟺x>1$ và $y>x^2$. Lấy logarit cơ số $x$ hai vế ta được: $t={\log }_{x}y>2$.
Ta biến đổi biểu thức trong số hạng thứ hai:
${\log }_{\frac{\sqrt{y}}{x}}\sqrt{\frac{y}{x}}=\frac{{\log }_x\sqrt{\frac{y}{x}}}{{\log }_x\left(\frac{\sqrt{y}}{x}\right)}=\frac{\frac{1}{2}({\log }_{x}y-1)}{\frac{1}{2}{\log }_{x}y-1}=\frac{\frac{1}{2}(t-1)}{\frac{t-2}{2}}=\frac{t-1}{t-2}$.
Do đó:
$P=(t-1{)}^2+8{\left(\frac{t-1}{t-2}\right)}^2$.
Đặt $u=t-1>1$, khi đó $t-2=u-1>0$. Ta có:
$P=u^2+8\frac{u^2}{(u-1{)}^2}=u^2\left(1+\frac{8}{(u-1{)}^2}\right)$.
Khảo sát hàm số theo biến $u>1$, ta thấy $P$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $u=3$ (tương ứng với $t=4>2$):
$P_{\min }=3^2+8{\left(\frac{3}{3-1}\right)}^2=9+8\cdot \frac{9}{4}=9+18=27$.
Chọn đáp án C.