Hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}\setminus \{-2;2\}$, có bảng biến thiên như sau:


Gọi $k,l$ lần lượt là số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{1}{f(x)-2018}$. Tính $k+l$.

Xét đồ thị hàm số $y=g(x)=\frac{1}{f(x)-2018}$:
1. Tiệm cận ngang ($l$):
Khi $x\to -\infty$, $f(x)\to +\infty ⟹g(x)\to 0$.
Khi $x\to +\infty$, $f(x)\to +\infty ⟹g(x)\to 0$.
Vậy đồ thị có $1$ đường tiệm cận ngang là $y=0$, do đó $l=1$.
2. Tiệm cận đứng ($k$):
Số đường tiệm cận đứng là số nghiệm của phương trình $f(x)-2018=0⟺f(x)=2018$.
Dựa vào bảng biến thiên của $f(x)$:
- Trên $(-\infty ;-2)$: $f(x)$ giảm từ $+\infty$ về $-\infty$, cắt $y=2018$ tại $1$ điểm.
- Trên $(-2;0)$: $f(x)$ tăng từ $-\infty$ lên $0$, không cắt $y=2018$.
- Trên $(0;2)$: $f(x)$ tăng từ $0$ lên $+\infty$, cắt $y=2018$ tại $1$ điểm.
- Trên $(2;+\infty )$: đồ thị có $2$ nhánh cắt đường $y=2018$ thêm $2$ điểm.
Tổng số nghiệm của phương trình $f(x)=2018$ là $4$, suy ra có $k=4$ đường tiệm cận đứng.
Vậy $k+l=4+1=5$.
Chọn đáp án C.