Với các số thực $x$ không âm và thỏa mãn $4^x-3\cdot 2^{x+\sqrt{x}}-4^{\sqrt{x}+1}\le 0$. Gọi $S$ là tập hợp các giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $x^2+9x+1=m{e}^x$ có hai nghiệm phân biệt. Số phần tử của tập hợp $S$ là:

Xét bất phương trình $4^x-3\cdot 2^{x+\sqrt{x}}-4\cdot 4^{\sqrt{x}}\le 0$.
Đặt $u=2^x>0$ và $v=2^{\sqrt{x}}>0$. Bất phương trình trở thành:
$u^2-3uv-4v^2\le 0⟺(u+v)(u-4v)\le 0$.
Vì $u+v>0$ nên $u-4v\le 0⟺u\le 4v$.
$⟺2^x\le 4\cdot 2^{\sqrt{x}}=2^{\sqrt{x}+2}⟺x\le \sqrt{x}+2⟺x-\sqrt{x}-2\le 0$.
Đặt $t=\sqrt{x}\ge 0$, ta có $t^2-t-2\le 0⟺-1\le t\le 2⟹0\le \sqrt{x}\le 2⟺0\le x\le 4$.
Phương trình $x^2+9x+1=m{e}^x⟺m=\frac{x^2+9x+1}{e^x}=g(x)$.
Đạo hàm: $g^{\prime }(x)=\frac{(2x+9)e^x-(x^2+9x+1)e^x}{e^{2x}}=\frac{-x^2-7x+8}{e^x}=\frac{-(x-1)(x+8)}{e^x}$.
Với $x\in [0;4]$, $g^{\prime }(x)=0⟺x=1$.
Bảng biến thiên của $g(x)$ trên $[0;4]$:
- $g(0)=1$.
- $g(1)=\frac{11}{e}\approx 4,046$.
- $g(4)=\frac{53}{e^4}\approx 0,97<1$.
Để phương trình $g(x)=m$ có $2$ nghiệm phân biệt thuộc $[0;4]$ thì:
$1\le m<\frac{11}{e}\approx 4,046$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{1;2;3;4\}$.
Tập hợp $S$ có $4$ phần tử.
Chọn đáp án A.