Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$. Hai điểm cực trị là $(-1;4)$ và $(1;0)$. Khoảng cách $=\sqrt{(1-(-1){)}^2+(0-4{)}^2}=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}$. Chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Điểm cực tiểu xảy ra khi $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$. Theo bảng xét dấu: tại $x=1$, $f^{\prime }$ đổi từ $-$ sang $+$ (cực tiểu); tại $x=2$, đổi từ $+$ sang $-$ (cực đại); tại $x=3$, đổi từ $-$ sang $+$ (cực tiểu); tại $x=5$, đổi từ $+$ sang $-$ (cực đại). Vậy hàm số có $2$ điểm cực tiểu tại $x=1$ và $x=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ khi đi qua $x=3$, nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=3$ với $f(3)=-4$. Vậy giá trị cực tiểu của hàm số bằng $-4$. Chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x=-1$, nên hàm số đạt cực đại tại $x=-1$. Tại $x=2$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên đó là điểm cực tiểu.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi đi qua $x=-1$, nên hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ với giá trị $f(-1)=2$. Tại $x=3$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên đó là cực tiểu $f(3)=-3$. Vậy giá trị cực đại bằng $2$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm số có dạng hình chữ W: hàm tăng – giảm – tăng – giảm – tăng, nên có hai điểm cực đại (hai đỉnh cao) và một điểm cực tiểu (đáy giữa). Vậy số điểm cực trị là $2+1=3$. Chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-2)$, nghịch biến trên $(-2;2)$, đồng biến trên $(2;+\infty )$. Tại $x=-2$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên hàm đạt cực đại với $y_{CD}=f(-2)=3$. Tại $x=2$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên hàm đạt cực tiểu với $y_{CT}=f(2)=0$. Vậy $y_{CD}=3$ và $y_{CT}=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $x^4-9=(x^2-3)(x^2+3)$, nên $f^{\prime }(x)=(x-2)(x^2-3{)}^2(x^2+3)$. Vì $x^2+3>0$ với mọi $x$ và $(x^2-3{)}^2\ge 0$, dấu của $f^{\prime }(x)$ chỉ phụ thuộc vào $(x-2)$ trừ tại các nghiệm bội chẵn $x=\pm \sqrt{3}$ (tại đó $f^{\prime }$ không đổi dấu). Xét dấu: với $x<2$ (khác $\pm \sqrt{3}$) thì $f^{\prime }(x)<0$; với $x>2$ thì $f^{\prime }(x)>0$. Vậy $f^{\prime }$ chỉ đổi dấu tại $x=2$, do đó hàm số có đúng $1$ điểm cực trị (cực tiểu tại $x=2$). Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=x^2(x-2)(x^2-x-2)(x+1{)}^4=x^2(x-2{)}^2(x+1{)}^5$. Vì $x^2\ge 0$ và $(x-2{)}^2\ge 0$ nên dấu của $f^{\prime }(x)$ hoàn toàn do dấu của $(x+1{)}^5$, tức dấu của $x+1$. Do đó $f^{\prime }(x)<0$ khi $x<-1$ và $f^{\prime }(x)>0$ khi $x>-1$. Hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;-1)$ và đồng biến trên $(-1;+\infty )$, nên $f$ đạt cực tiểu tại $x=-1$; tại $x=0$ và $x=2$ đạo hàm đổi dấu không qua (không đổi dấu) nên không phải cực trị. Vậy tổng các điểm cực trị là $-1$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^3-3x+2$ có $y^{\prime }=3x^2-3$. Cho $y^{\prime }=0$ ta được $x=\pm 1$. Vì $y^{\prime }=3(x-1)(x+1)$ đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua $x=-1$, hàm số đạt cực đại tại $x=-1$. Giá trị cực đại $y_{CD}=(-1{)}^3-3(-1)+2=-1+3+2=4$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x+3}{x+1}$ có $y^{\prime }=\frac{2(x+1)-(2x+3)}{(x+1{)}^2}=\frac{-1}{(x+1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne -1$. Vậy hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định và không có điểm cực trị. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2+3}{x+1}$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(2x)(x+1)-(x^2+3)}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x-3}{(x+1{)}^2}=\frac{(x-1)(x+3)}{(x+1{)}^2}$. $y^{\prime }=0\iff x=1$ hoặc $x=-3$. Xét dấu: trên $(-\infty ;-3)$, $y^{\prime }>0$; trên $(-3;-1)$, $y^{\prime }<0$; trên $(-1;1)$, $y^{\prime }<0$; trên $(1;+\infty )$, $y^{\prime }>0$. Vậy hàm số đạt cực đại tại $x=-3$ với $y_{CĐ}=\frac{9+3}{-2}=-6$ và đạt cực tiểu tại $x=1$ với $y_{CT}=\frac{1+3}{2}=2$. Do đó mệnh đề đúng là 'Cực tiểu của hàm số bằng 2'.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)=0\Rightarrow x=1$ hoặc $x=3$. Đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm tại $x=1$ nên điểm cực đại là $x=1$, với $y(1)=1-6+9=4$. Tổng hoành độ và tung độ: $1+4=5$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=4x^3-2x=2x(2x^2-1)=0$ tại $x=0$, $x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$. Tại $x=0$: $y=1$ (cực đại, dương). Tại $x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$: $y=\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+1=\frac{3}{4}$ (cực tiểu, dương). Cả 3 điểm cực trị đều có tung độ dương. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số:
- A: $y=\frac{x^2+1}{x}=x+\frac{1}{x}$, có $y^{\prime }=1-\frac{1}{x^2}=0\iff x=\pm 1$, đổi dấu qua các điểm này nên có cực trị.
- B: $y=\frac{2x-2}{x+1}$, $y^{\prime }=\frac{2(x+1)-(2x-2)}{(x+1{)}^2}=\frac{4}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$. Đạo hàm không đổi dấu nên hàm số không có cực trị.
- C: $y=x^2-2x+1=(x-1{)}^2$ có $y^{\prime }=2(x-1)=0\iff x=1$, đổi dấu từ âm sang dương nên có cực tiểu tại $x=1$.
- D: $y=-x^3+x+1$ có $y^{\prime }=-3x^2+1=0\iff x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$, đổi dấu nên có cực trị.
Vậy hàm số không có cực trị là $y=\frac{2x-2}{x+1}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=x^3-x^2-5x-3$. Thử $x=-1$: $-1-1+5-3=0$, nên $y^{\prime }=(x+1)(x^2-2x-3)=(x+1{)}^2(x-3)$. Dấu của $y^{\prime }$: $y^{\prime }>0$ với mọi $x\ne 3$ (vì $(x+1{)}^2\ge 0$ và $x-3$ chỉ âm khi $x<3$, nhưng khi $x<-3$... kiểm tra: với $x<3$, $x-3<0$? Không — xét kỹ: với $x<-1$, $(x+1{)}^2>0$, $x-3<0$ thì $y^{\prime }<0$? Thử $x=-4$: $(-3{)}^2(-7)=-63<0$. Vậy $y^{\prime }<0$ khi $x<-1$? Thử lại $x=-4$ trong $y^{\prime }$ trực tiếp: $-64-16+20-3=-63<0$. Đúng. Với $-1<x<3$: thử $x=0$: $-3<0$. Với $x>3$: thử $x=4$: $64-16-20-3=25>0$. Vậy $y^{\prime }$ âm trên $(-\infty ;3)$ (trừ $x=-1$ nơi $y^{\prime }=0$ nhưng không đổi dấu) và dương trên $(3;+\infty )$. Hàm số nghịch biến rồi đồng biến, đạt cực tiểu tại $x=3$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2+3}{x+1}$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(2x)(x+1)-(x^2+3)}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x-3}{(x+1{)}^2}=\frac{(x-1)(x+3)}{(x+1{)}^2}$. $y^{\prime }=0$ khi $x=1$ hoặc $x=-3$. Xét dấu: trên $(-\infty ;-3)$, $y^{\prime }>0$; trên $(-3;-1)$, $y^{\prime }<0$; trên $(-1;1)$, $y^{\prime }<0$; trên $(1;+\infty )$, $y^{\prime }>0$. Vậy hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$ với $y_{CT}=\frac{1+3}{1+1}=2$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: f đạt cực đại tại x=2 với giá trị 3, cực tiểu tại x=4 với giá trị -2. a) Đúng: hàm số có 2 điểm cực trị (x=2 và x=4). b) Đúng: tổng giá trị cực đại và giá trị cực tiểu là 3+(-2)=1. c) Sai: đường thẳng qua (2;3) và (4;-2) có hệ số góc (-2-3)/(4-2)=-5/2, phương trình: y-3=(-5/2)(x-2) ⟺ 5x+2y-16=0, không phải x+2y-8=0 (đường này chỉ qua (2;3) nhưng tại (4;-2) cho 4-4-8=-8≠0). d) Đúng: y=f(x²) có y'=2x·f'(x²); y'=0 khi x=0 hoặc x²=2 hoặc x²=4 (vì f'(x) đổi dấu tại 2 và 4), tức x=0, ±√2, ±2 — tất cả đều là điểm cực trị vì f' đổi dấu qua các điểm đó, nên đồ thị có 5 điểm cực trị.
a) (AI giải đề cho tôi)
f' đổi dấu từ + sang - tại x=2 (cực đại) và từ - sang + tại x=4 (cực tiểu), nên đồ thị có 2 điểm cực trị.
b) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị cực đại bằng 3 tại x=2, giá trị cực tiểu bằng -2 tại x=4; tổng 3+(-2)=1.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua (2;3) và (4;-2) có phương trình 5x+2y-16=0, không phải x+2y-8=0 vì (4;-2) không thỏa x+2y-8=0.
d) (AI giải đề cho tôi)
y'=2x·f'(x²)=0 khi x=0 hoặc x²∈{2;4}, cho x=0, ±√2, ±2; do f' đổi dấu tại 2 và 4 nên cả 5 điểm đều là cực trị.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu của $f^{\prime }(x)$: $f^{\prime }$ đổi dấu $+$ thành $-$ tại $x=-2$ (cực đại), không đổi dấu tại $x=0$ (không phải cực trị), đổi dấu $-$ thành $+$ tại $x=2$ (cực tiểu).
a) Đúng: hàm số có 2 điểm cực trị là $x=-2$ và $x=2$... nhưng đề nói 3 điểm cực trị — xét lại: các điểm mà $f^{\prime }(x)=0$ là $-2,0,2$, nhưng chỉ $x=-2$ và $x=2$ là điểm cực trị (tại $x=0$, $f^{\prime }$ âm ở cả hai bên nên không phải cực trị). Vậy khẳng định 'có 3 điểm cực trị' là SAI.
b) Đúng: $f^{\prime }$ đi từ $+$ sang $-$ qua $x=-2$ nên $x=-2$ là điểm cực đại.
c) Sai: trên $(-2;2)$, $f^{\prime }(x)\le 0$ (bằng 0 chỉ tại $x=0$), nên hàm số nghịch biến trên khoảng $(-2;2)$, không đồng biến.
d) Sai: $y=f(2x-4)$ đạt cực tiểu khi $2x-4=2$ (điểm cực tiểu của $f$), tức $x=3$, không phải $x=2$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tại $x=0$, $f^{\prime }(x)=0$ nhưng $f^{\prime }$ âm ở cả hai bên nên $x=0$ không phải điểm cực trị. Hàm số chỉ có 2 điểm cực trị ($x=-2$ và $x=2$).
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x=-2$, nên $x=-2$ là điểm cực đại.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên khoảng $(-2;2)$ ta có $f^{\prime }(x)<0$ (trừ $f^{\prime }(0)=0$), nên hàm số nghịch biến trên khoảng này.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=f(2x-4)$ đạt cực tiểu khi $2x-4=2\iff x=3$, không phải $x=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^3-3x^2+4$ xác định trên $\mathbb{R}$, nên a) đúng. Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x=3x(x-2)$; $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=2$. Trên $(0;2)$, $y^{\prime }<0$ nên hàm số nghịch biến, b) sai. Điểm cực đại $A(0;4)$ (vì $y^{\prime }$ đổi dấu từ + sang − tại $x=0$), điểm cực tiểu $B(2;0)$ (vì $y^{\prime }$ đổi dấu từ − sang + tại $x=2$). Đường thẳng qua $A(0;4)$ và $B(2;0)$ có hệ số góc $k=\frac{0-4}{2-0}=-2$, phương trình $y=-2x+4\iff 2x+y-4=0$, nên c) đúng. Diện tích tam giác $OAB$ với $O(0;0)$, $A(0;4)$, $B(2;0)$: $S=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot OB=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 2=4$, nên d) đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đa thức nên tập xác định là $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x(x-2)<0$ trên $(0;2)$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng này.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hai điểm cực trị là $A(0;4)$, $B(2;0)$; đường thẳng qua chúng là $y=-2x+4\iff 2x+y-4=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S_{OAB}=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot OB=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 2=4$.