Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt cầu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: vectơ chỉ phương của $d$ là ${\vec{u}}_d=(1;-1;2)$, không phải $(1;1;2)$. b) Đúng: mặt cầu tâm $A(0;1;3)$ bán kính 5 có phương trình $x^2+(y-1{)}^2+(z-3{)}^2=25$. c) Sai: điểm trên $d$ có dạng $(1+t;-t;2t)$, điều kiện $\overrightarrow{AH}\perp {\vec{u}}_d$: $(1+t)+(t+1)+2(2t-3)=0\Rightarrow 6t-4=0\Rightarrow t=\frac{2}{3}$, nên $H\left(\frac{5}{3};-\frac{2}{3};\frac{4}{3}\right)$, hoành độ $\frac{5}{3}\ne -\frac{2}{3}$. d) Đúng: $\overrightarrow{AH}=\left(\frac{5}{3};-\frac{5}{3};-\frac{5}{3}\right)$ nên $d(A,d)=|AH|=\sqrt{\frac{25}{3}}$. Độ dài đoạn đường nằm trong vùng phủ sóng là $2\sqrt{R^2-d^2(A,d)}=2\sqrt{25-\frac{25}{3}}=2\sqrt{\frac{50}{3}}\approx 8,16$ km.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vectơ chỉ phương của $d$ là $(1;-1;2)$, khác $(1;1;2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu tâm $A(0;1;3)$, $R=5$: $x^2+(y-1{)}^2+(z-3{)}^2=25$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Điểm trên $d$: $(1+t;-t;2t)$, $\overrightarrow{AH}\cdot (1;-1;2)=0\Rightarrow t=\frac{2}{3}$, $H\left(\frac{5}{3};-\frac{2}{3};\frac{4}{3}\right)$, hoành độ $\frac{5}{3}\ne -\frac{2}{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$d(A,d)=\sqrt{\frac{25}{3}}$, độ dài đoạn nằm trong vùng phủ sóng $=2\sqrt{25-\frac{25}{3}}=2\sqrt{\frac{50}{3}}\approx 8,16$ km.

(AI giải đề cho tôi)
Trừ hai phương trình mặt cầu: $(S_1)$ khai triển thành $x^2+y^2+z^2-2x-2y+6z-14=0$, $(S_2):x^2+y^2+z^2-2x-2y-14=0$, suy ra giao tuyến nằm trên mặt phẳng $(P):z=0$. Phản xạ của $A$ qua $(P)$ là $A^{\prime }(0;0;-3)$, của $B$ là $B^{\prime }(2;-3;5)$ thì $AM=A^{\prime }M$, $BN=B^{\prime }N$. Viết $N=M+u$ với $|u|=1$, $u$ song song $(P)$. Khi đó $AM+BN=A^{\prime }M+|B^{\prime }-M-u|=A^{\prime }M+M{B}^{\prime \prime }$ với $B^{\prime \prime }=B^{\prime }-u$. Vì $A^{\prime }$ và $B^{\prime \prime }$ khác phía so với $(P)$ nên $\min =A^{\prime }{B}^{\prime \prime }=\sqrt{(2-u_x{)}^2+(-3-u_y{)}^2+64}$. Ta có $(2-u_x{)}^2+(-3-u_y{)}^2=14-4u_x+6u_y$, nhỏ nhất bằng $14-\sqrt{16+36}=14-2\sqrt{13}$. Vậy $\min =\sqrt{78-2\sqrt{13}}$, tức $a=78$, $b=2$, $c=13$ (nguyên tố), $a+b+c=93$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu $(S):(x-1{)}^2+y^2+(z+1{)}^2=1$ có tâm $I(1;0;-1)$, bán kính $R=1$. Đường thẳng $d$ đi qua $A(0;2;0)$ với vectơ chỉ phương $\vec{u}(1;1;-1)$. Mặt phẳng chứa $d$ có dạng $ax+by+cz+D=0$ với điều kiện chứa $\vec{u}$: $a+b-c=0$ tức $c=a+b$, và qua $A$: $D=-2b$. Khoảng cách từ $I$ đến mặt phẳng bằng $R$: $\frac{|a-c+D|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=1\Rightarrow \frac{|-3b|}{\sqrt{a^2+b^2+(a+b{)}^2}}=1\Rightarrow 2a^2+2ab-7b^2=0$. Đặt $t=a/b$: $2t^2+2t-7=0$ có hai nghiệm $t_{1,2}=\frac{-1\pm \sqrt{15}}{2}$, nên $t_1+t_2=-1$. Với mỗi nghiệm, $|\vec{n}{|}^2=t^2+1+(t+1{)}^2=2t^2+2t+2=9$ nên $|\vec{n}|=3$. Hai pháp tuyến đơn vị là ${\hat{n}}_i=\frac{1}{3}(t_i;1;t_i+1)$, tổng ${\hat{n}}_1+{\hat{n}}_2=\frac{1}{3}(t_1+t_2;2;t_1+t_2+2)=\frac{1}{3}(-1;2;1)$. Tọa độ tiếp điểm $T=I+\hat{n}$ (xét dấu giá trị tại $I$: giá trị $-3b$ nên tiếp điểm $T=I+\mathrm{sgn}(b)\hat{n}$), do đó trung điểm $H=I+\frac{{\hat{n}}_1+{\hat{n}}_2}{2}=\left(1;0;-1\right)+\frac{1}{6}(-1;2;1)=\left(\frac{5}{6};\frac{1}{3};-\frac{5}{6}\right)$. Kết quả khớp phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Đỉnh hải đăng $I(21;35;50)$, bán kính phủ sáng $R=4km=4000m$.

a) Sai. Ranh giới vùng phủ sáng là mặt cầu tâm $I$ bán kính $4000m$: $(x-21{)}^2+(y-35{)}^2+(z-50{)}^2=16000000$, không phải $=16$ (đơn vị đề là mét, không phải km).

b) Sai. Chân hải đăng $H(21;35;0)$. $DH=\sqrt{5100^2+623^2}=\sqrt{26398129}\approx 5137,91m$. Vùng sáng trên mặt biển có bán kính $r=\sqrt{4000^2-50^2}=\sqrt{15997500}\approx 3999,69m$. Quãng đường phải đi: $5137,91-3999,69\approx 1138,22m$. Tốc độ $7\times 1852=12964m/h$, thời gian $=\frac{1138,22}{12964}\times 60\approx 5,27$ phút, không phải $5,28$ phút.

c) Đúng. Bán kính vùng sáng trên mặt biển $r=\sqrt{4000^2-50^2}\approx 3999,6875\approx 3999,7m$.

d) Sai. Khoảng cách từ $I$ đến $D$: $ID=\sqrt{5100^2+623^2+50^2}\approx 5138,15m$; khoảng cách ngang từ chân tháp đến $D$ là $\approx 5137,91m>3999,7m$, nên $D$ nằm ngoài vùng phủ sáng, người ở $D$ không nhìn thấy ánh sáng hải đăng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Bán kính phải là 4000 m nên phương trình là $(x-21{)}^2+(y-35{)}^2+(z-50{)}^2=16000000$, không phải $=16$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Quãng đường $\approx 5137,91-3999,69=1138,22m$; thời gian $\approx 5,27$ phút (không phải 5,28).
c) (AI giải đề cho tôi)
$r=\sqrt{4000^2-50^2}\approx 3999,7m$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$D$ cách chân tháp $\approx 5137,91m>3999,7m$, nằm ngoài vùng phủ sáng nên không nhìn thấy ánh sáng.

(AI giải đề cho tôi)
Ba mặt cầu có tâm $A(1;2;1)$, $B(3;-1;1)$, $C(-1;-1;1)$ với bán kính $r_A=2$, $r_B=r_C=1$. Ba tâm nằm trên mặt phẳng $z=1$; $AB=AC=\sqrt{13}$, $BC=4$, tức $A$ nằm trên trung trực của $BC$.

Một mặt phẳng $(P)$ tiếp xúc với cả ba mặt cầu khi và chỉ khi khoảng cách có dấu từ các tâm đến $(P)$ bằng ${\epsilon }_A{r}_A,{\epsilon }_B{r}_B,{\epsilon }_C{r}_C$ với ${\epsilon }_i\in \{1;-1\}$. Với pháp tuyến đơn vị $\vec{n}=(n_x;n_y;n_z)$, điều kiện là:
$$\vec{n}\cdot \overrightarrow{BC}={\epsilon }_B-{\epsilon }_C,\vec{n}\cdot \overrightarrow{BA}=2{\epsilon }_A-{\epsilon }_B.$$

Trường hợp ${\epsilon }_B={\epsilon }_C$: $4n_x=0\Rightarrow n_x=0$, và $3n_y=2{\epsilon }_A-{\epsilon }_B\in \{\pm 1;\pm 3\}$.
- Với $n_y=\pm 1$: cả hai cho cùng mặt phẳng $y=0$ (khoảng cách từ $A$ bằng $2$, từ $B,C$ bằng $1$): $1$ mặt phẳng.
- Với $n_y=\pm \frac{1}{3}$: $n_z=\pm \frac{2\sqrt{2}}{3}$, hai pháp tuyến đối nhau cho $2$ mặt phẳng phân biệt.
Tổng: $3$ mặt phẳng.

Trường hợp ${\epsilon }_B=1,{\epsilon }_C=-1$: $n_x=\frac{1}{2}$, khi đó $3n_y=2{\epsilon }_A\Rightarrow n_y=\pm \frac{2}{3}$, $n_z=\pm \frac{\sqrt{11}}{6}$. Bốn pháp tuyến tạo thành $2$ mặt phẳng phân biệt (kiểm tra ví dụ $\vec{n}=\left(\frac{1}{2};\frac{2}{3};\frac{\sqrt{11}}{6}\right)$, $d=\frac{1}{6}$: khoảng cách có dấu đến $A,B,C$ lần lượt là $2,1,-1$).

Trường hợp ${\epsilon }_B=-1,{\epsilon }_C=1$: $n_x=-\frac{1}{2}$, tương tự cho $2$ mặt phẳng khác (do $n_x$ đổi dấu nên không trùng với trường hợp trên).

Vậy tổng số mặt phẳng tiếp xúc với cả ba mặt cầu là $3+2+2=7$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình thứ nhất là mặt cầu tâm $I(2;-1;-2)$ bán kính $R=2$. Phương trình thứ hai là mặt phẳng $(P):4x-3y-m=0$. Hệ có đúng một nghiệm khi và chỉ khi $(P)$ tiếp xúc với mặt cầu, tức khoảng cách từ $I$ đến $(P)$ bằng $R$:
$$d(I,(P))=\frac{|4\cdot 2-3\cdot (-1)-m|}{\sqrt{4^2+(-3{)}^2}}=\frac{|11-m|}{5}=2$$
Suy ra $|11-m|=10$, nên $m=1$ hoặc $m=21$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Thiết lập tọa độ: chọn đáy dưới là mặt phẳng z=0 với A(0;0;0), B(2√3;0;0) (vì AB² = 2²+2²−2·2·2·cos120° = 12 ⇒ AB = 2√3), O(√3;1;0), và O'(√3;1;4) (OO' = 4). Hai mặt phẳng (CAB), (DAB) cắt lăng trụ thành ba phần, với C, D thuộc cạnh OO'.

• Tam giác DAB đều ⇒ DA = DB = AB = 2√3. Với D trên OO': D(√3;1;z) ⇒ DA² = 3+1+z² = 12 ⇒ z² = 8 ⇒ z = 2√2. Vậy D(√3;1;2√2).
• Tam giác CAB vuông (vuông tại C) ⇒ CA² + CB² = AB² = 12. Với C(√3;1;z): CA² = CB² = 4+z² ⇒ 2(4+z²)=12 ⇒ z² = 2 ⇒ z = √2. Vậy C(√3;1;√2) (C nằm dưới D để hai mặt phẳng cắt lăng trụ thành ba phần).

Thể tích khối chóp ABCD:
V = (1/6)|det[AB, AC, AD]| = (1/6)·|2√3·(1·2√2 − √2·1)| = (2√6)/6 = √6/3 ⇒ V² = 2/3.

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp: tâm I(√3; y₀; z₀) (do IA = IB).
Từ IA = IC: 3 + y₀² + z₀² = (y₀−1)² + (z₀−√2)² ⇒ y₀ = −√2 z₀.
Từ IA = ID: 3 + y₀² + z₀² = (y₀−1)² + (z₀−2√2)² ⇒ y₀ = 3 − 2√2 z₀.
Suy ra √2 z₀ = 3 ⇒ z₀ = 3√2/2, y₀ = −3.
R² = IA² = 3 + 9 + 9/2 = 33/2.

Vậy V² + R² = 2/3 + 33/2 = 103/6.
Số tiền ông An phải trả: (V² + R²)·60 = (103/6)·60 = 1030 (nghìn đồng).
Kết quả trùng với đáp án nguồn 1030.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2+2x-2y+6z-1=0$ có tâm $I=(-1;1;-3)$ vì tọa độ tâm là $(-a/2;-b/2;-c/2)$ với $a=2,b=-2,c=6$. Bán kính $R=\sqrt{1+1+9+1}=\sqrt{12}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình có dạng $x^2+y^2+z^2+2(m+2)x-2(m-1)z+3m^2-5=0$ là phương trình mặt cầu khi và chỉ khi $R^2=(m+2{)}^2+(m-1{)}^2-(3m^2-5)>0$. Tính: $(m+2{)}^2+(m-1{)}^2-(3m^2-5)=m^2+4m+4+m^2-2m+1-3m^2+5=-m^2+2m+10>0$, tức $m^2-2m-10<0$, suy ra $1-\sqrt{11}<m<1+\sqrt{11}$, tức $-2,32<m<4,32$. Các giá trị nguyên: $m\in \{-2,-1,0,1,2,3,4\}$, gồm 7 giá trị.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu $(S):x^2+y^2+z^2-8x+10y-6z+49=0$ có tâm $I(4;-5;3)$. Bán kính thỏa $R^2=4^2+(-5{)}^2+3^2-49=16+25+9-49=1$, nên $R=1$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi tâm mặt cầu là $I(t;t;t)$ thuộc $d$. Thiết diện là đường tròn tâm $K(0;0;-2)$ nên $K$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $(P):z+2=0$, tức hình chiếu của $I$ là $(t;t;-2)$. Suy ra $t=0$, vậy $I(0;0;0)$. Khoảng cách từ $I$ đến $(P)$ là $d(I,(P))=|0+2|=2$. Bán kính mặt cầu: $R^2=d^2+r^2=4+5=9\Rightarrow R=3$. Phương trình mặt cầu: $x^2+y^2+z^2=9$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu $(x+1{)}^2+(y-2{)}^2+(z-1{)}^2=9$ có dạng $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2$ với tâm $I(-1;2;1)$ và $R=\sqrt{9}=3$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $x^2+y^2+z^2-2mx+2my-2mz+27=0$ có tâm $I(m;-m;m)$ và bán kính bình phương $R^2=3m^2-27$. Để là mặt cầu cần $R^2>0\iff 3m^2>27\iff m^2>9\iff |m|>3$. Với $m\in [-100;100]$ nguyên: $m\in \{-100,...,-4\}\cup \{4,...,100\}$, mỗi phần có 97 giá trị. Vậy tổng số giá trị là $97+97=194$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu tâm $I(1;0;-2)$, bán kính $R=4$ có phương trình $(x-1{)}^2+(y-0{)}^2+(z+2{)}^2=4^2=16$, tức $(x-1{)}^2+y^2+(z+2{)}^2=16$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình có dạng x²+y²+z²−2ax−2by−2cz+c=0 với a=−(m+2), b=0, c=m−1, c₀=3m²−5. Đây là mặt cầu khi R²=(m+2)²+(m−1)²−(3m²−5)>0. Tính: (m+2)²+(m−1)²−3m²+5 = (m²+4m+4)+(m²−2m+1)−3m²+5 = −m²+2m+10 > 0 ⟺ m²−2m−10<0 ⟺ 1−√11 < m < 1+√11. Vì √11≈3,317 nên −2,316 < m < 4,316, các giá nguyên m ∈ {−2;−1;0;1;2;3;4}, gồm 7 giá trị.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu tâm $I(2;1;-3)$ bán kính $R=9$ có phương trình $(x-2{)}^2+(y-1{)}^2+(z+3{)}^2=9^2=81$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu tiếp xúc với trục tung nên bán kính bằng khoảng cách từ tâm $I(1;-2;3)$ đến trục $Oy$: $R=\sqrt{x_I^2+z_I^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$. Vậy chọn C.

Mặt cầu (S) có tâm $O(0;0;0)$, bán kính $R=\sqrt{3}$. Ta có: $$\overrightarrow{AB}=(0;4;4),\overrightarrow{AC}=(2;2;4)\Rightarrow [\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]=(8;8;-8)=8(1;1;-1).$$ Mặt phẳng (ABC) qua $A(-1;-3;-5)$, vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;1;-1)$ nên có phương trình $$x+y-z-1=0.$$ Ta có $d(O,(ABC))=\frac{1}{\sqrt{3}}<R$ nên (ABC) cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có bán kính $$r=\sqrt{R^2-(d(O,(ABC)){)}^2}=\frac{2\sqrt{6}}{3}.$$ Chọn điểm D thuộc (C) sao cho $\Delta BCD$ đều, suy ra $D(1;1;1)$. Xét điểm M thuộc cung nhỏ BC, lấy E thuộc đoạn DM sao cho $MC=ME$. Mặt khác $\widehat{CME}=\widehat{CBD}=60^{\circ }$ (góc nội tiếp cùng chắn cung CD). Vì vậy tam giác CME đều. Xét hai tam giác $\Delta CMB$ và $\Delta CED$ có $$CM=CE,CB=CD$$ $$\widehat{CBM}=\widehat{CDE}(\text{goˊc nội tieˆˊp cuˋng cha˘ˊn cung }CM)$$ Do đó hai tam giác $\Delta CMB,\Delta CED$ bằng nhau, suy ra $MB=ED$. Khi đó $$MA+MB+MC=MA+ME+ED\ge AD=\sqrt{(1+1{)}^2+(1+3{)}^2+(1+5{)}^2}=2\sqrt{14}$$ $$\approx 7,48.$$ Dấu đẳng thức xảy ra khi $M\in AD\cap (S)$ hay $M=AD\cap (C)$. Ta có $\overrightarrow{AD}=(2;4;6)$; đường thẳng AD có phương trình tham số $$\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=1+2t\\ z=1+3t\end{array}$$ Thay phương trình AD vào phương trình (S) thì: $$(1+t{)}^2+(1+2t{)}^2+(1+3t{)}^2=3\Rightarrow t(7t+6)=0$$ $$\Rightarrow t=0\text{ hoặc }t=-\frac{6}{7}.$$ Với $t=0$ ta có điểm $D(1;1;1)$. Với $t=-\frac{6}{7}$ ta có điểm $M\left(\frac{1}{7};-\frac{5}{7};-\frac{11}{7}\right)$; suy ra $$2a-6b-8c=\frac{2}{7}+\frac{5.6}{7}+\frac{11.8}{7}=\frac{120}{7}\approx 17,1.$$

(AI giải đề cho tôi)
Mặt cầu $(S):(x-3{)}^2+(y+1{)}^2+(z-2{)}^2=4$ có dạng $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2$ với tâm $I(a;b;c)$ và bán kính $R=\sqrt{4}=2$. So sánh: $a=3$, $-b=1\Rightarrow b=-1$, $c=2$, $R=2$. Vậy $I(3;-1;2)$, $R=2$. Đáp án A.