Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Điểm $I$ thuộc mặt phẳng $Oxz$ nên có tung độ $y_I=0$. Vì $I;A;B$ thẳng hàng nên $I=A+t\overrightarrow{AB}$ với $\overrightarrow{AB}=(1;-3;4)$. Suy ra $I=(1+t;2-3t;-1+4t)$. Từ $2-3t=0$ ta được $t=\frac{2}{3}$. Khi đó $x_I=1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}$, $z_I=-1+4\cdot \frac{2}{3}=\frac{5}{3}$. Vậy $I\left(\frac{5}{3};0;\frac{5}{3}\right)$, tương ứng phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng AB: điểm $A(12;83;-2)$, vecto $\overrightarrow{AB}=(-9;-90;18)$. Điểm trên đường thẳng: $(12-9t;83-90t;-2+18t)$. Giao với mặt biển $z=0$: $-2+18t=0\Rightarrow t=\frac{1}{9}$. Khi đó $a=12-1=11$, $b=83-10=73$, $c=0$. Vậy $a+b+c=84$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vị trí cabin tại thời điểm $t$: $M(t)=A+s\vec{u}$ với $s$ là quãng đường theo tham số (mét). Khoảng cách từ $I(50;-10;50)$ đến đường thẳng nhỏ nhất khi $IM\perp \vec{u}$, tức $\overrightarrow{AI}\cdot \vec{u}-s|\vec{u}{|}^2=0$ với $\overrightarrow{AI}=(40;-13;50)$. Tính $\overrightarrow{AI}\cdot \vec{u}=80+26+50=156$, $|\vec{u}{|}^2=9$, nên $s=156/9=52/3\approx 17,33$ m. Vì cabin chuyển động đều với tốc độ $4,5$ m/s, thời gian $t=\frac{52/3}{4,5}=\frac{52}{13,5}\approx 3,85$ giây, làm tròn đến hàng đơn vị là $4$ giây.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ đi qua điểm $(1;1;3)$ với vectơ chỉ phương $(1;1;2)$. Thử từng điểm: với $Q(1;1;3)$ ta có $\frac{1-1}{1}=\frac{1-1}{1}=\frac{3-3}{2}=0$, thỏa mãn. Các điểm còn lại: $M(-1;-1;-3)$ cho $-2=-2=-3$ (sai); $N(1;1;2)$ cho $0=0=-\frac{1}{2}$ (sai); $P(-1;-1;-2)$ cho $-2=-2=-\frac{5}{2}$ (sai). Vậy điểm thuộc $d$ là $Q(1;1;3)$.

(AI giải đề cho tôi)
Điểm trên d có dạng $M(4+2t;4+2t;2-t)$. Ta có $\overrightarrow{AM}=(3+2t;3+2t;3-t)$. Để $H$ là hình chiếu vuông góc thì $\overrightarrow{AH}\cdot \vec{u}=0$ với $\vec{u}=(2;2;-1)$: $(3+2t)\cdot 2+(3+2t)\cdot 2+(3-t)\cdot (-1)=0\Rightarrow 6+4t+6+4t-3+t=0\Rightarrow 9+9t=0\Rightarrow t=-1$. Suy ra $H(2;2;3)$, nên $a+b+c=2+2+3=7$.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $A(1;-2;2)$, $B(2;2;1)$, $\overrightarrow{AB}=(1;4;-1)$, $AB=3\sqrt{2}$.

a) Hình chiếu $H$ của $O$ trên $AB$: $H=A+t\overrightarrow{AB}$ với $\overrightarrow{AH}\perp \overrightarrow{AB}$, tức $(A+t\overrightarrow{AB})\cdot \overrightarrow{AB}=0\Rightarrow \overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{AB}+t\cdot 18=0$ với $\overrightarrow{OA}=(1;-2;2)$, $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{AB}=1-8-2=-9$, suy ra $t=1/2$. Vậy $H=(3/2;0;3/2)$, hoành độ $3/2>0$ → Đúng.

b) Vì $KO$ là đáy của hình thang $OABK$ và $AB$ là đáy kia nên $KO\parallel AB$, $KO=2AB=6\sqrt{2}$, do đó $K=\pm 2(1;4;-1)$, tức $K=(2;8;-2)$ hoặc $K=(-2;-8;2)$. Hình thang cân yêu cầu hai cạnh bên $OA$ và $BK$ bằng nhau; nhưng $OA=3$ còn với $K=(2;8;-2)$ thì $BK=|(0;6;-3)|=3\sqrt{5}$, với $K=(-2;-8;2)$ thì $BK=\sqrt{117}$. Về mặt lý thuyết, điều kiện cân còn đòi hỏi trung điểm hai đáy có đường nối vuông góc với $AB$: với $K=t(1;4;-1)$, vectơ nối hai trung điểm có tích vô hướng với $\overrightarrow{AB}$ bằng $9t$, chỉ triệt tiêu khi $t=0$ (suy biến). Vậy không tồn tại $K$ thỏa mãn, khẳng định $a+b+c=8$ là Sai.

c) $N\in (Oxz)$ nên $y_1=0$; $N$ thuộc đường thẳng $AB$: $(x;y;z)=(1+t;-2+4t;2-t)$. $-2+4t=0\Rightarrow t=1/2\Rightarrow N=(3/2;0;3/2)$, nên $x_1+y_1+z_1=3\ne 6$ → Sai.

d) $M(0;0;m)$: $M{A}^2=1+4+(m-2{)}^2=m^2-4m+9$; $M{B}^2=4+4+(m-1{)}^2=m^2-2m+9$; nên $2M{A}^2-M{B}^2=m^2-6m+9=(m-3{)}^2$. Ngoài ra $2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}=2\vec{A}-\vec{B}-\vec{M}=(0;-6;3-m)$ nên $\left|2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\right|=\sqrt{(m-3{)}^2+36}$. Do đó $T=(m-3{)}^2+\sqrt{(m-3{)}^2+36}$ là hàm tăng theo $u=(m-3{)}^2\ge 0$, đạt giá trị nhỏ nhất tại $m=3$: $T_{\min }=0+6=6\ne 42$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của $O$ trên $AB$ là $H=A+t\overrightarrow{AB}$ với $(A+t\overrightarrow{AB})\cdot \overrightarrow{AB}=0$; vì $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{AB}=-9$, $|\overrightarrow{AB}{|}^2=18$ nên $t=1/2$, $H=(3/2;0;3/2)$ có hoành độ dương.
b) (AI giải đề cho tôi)
$KO\parallel AB$, $KO=2AB$ cho $K=\pm (2;8;-2)$. Khi đó cạnh bên $BK$ bằng $3\sqrt{5}$ hoặc $\sqrt{117}$, khác $OA=3$, nên $OABK$ không phải hình thang cân; điều kiện cân dẫn đến $t=0$ (suy biến). Vậy không tồn tại $K$ thỏa mãn và $a+b+c=8$ là sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$N\in (Oxz)$ và thẳng hàng với $A,B$: $t=1/2$ cho $N=(3/2;0;3/2)$, tổng $x_1+y_1+z_1=3\ne 6$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $M(0;0;m)$: $2M{A}^2-M{B}^2=(m-3{)}^2$ và $\left|2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\right|=\sqrt{(m-3{)}^2+36}$, nên $T=(m-3{)}^2+\sqrt{(m-3{)}^2+36}\ge 6$, đạt tại $m=3$. Vậy $T_{\min }=6\ne 42$ → Sai.

(AI giải đề cho tôi)
VTCP của $AB$ là $\overrightarrow{AB}=(4;-6;6)$. Phương trình tham số: $x=-3+4t,y=1-6t,z=-4+6t$. Giao với $(Oxy)$ thì $z=0\Rightarrow -4+6t=0\Rightarrow t=\frac{2}{3}$. Khi đó $x=-3+\frac{8}{3}=-\frac{1}{3}$, $y=1-4=-3$. Vậy giao điểm là $M\left(-\frac{1}{3};-3;0\right)$, khớp với đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng AB có vecto chỉ phương $\overrightarrow{AB}=(-2;3;1)$. Phương trình tham số: $x=3-2t,y=-1+3t,z=2+t$. Giao với $(Oxy)$ thì $z=0\Rightarrow t=-2$. Suy ra $a=3-2(-2)=7$, $b=-1+3(-2)=-7$, $c=0$. Vậy $E(7;-7;0)$ và $2a+b+c=14-7+0=7$.

(AI giải đề cho tôi)
Cabin chuyển động thẳng đều trên đường có vectơ chỉ phương $\vec{u}(2;-2;1)$, xuất phát từ $A(10;3;0)$. Sau 3 phút, hoành độ $x_B=550$: $10+2k=550\Rightarrow k=270$, tức sau 3 phút cabin đi được quãng đường $k\cdot |\vec{u}|=270\cdot 3=810$ m. Vận tốc $v=810:3=270$ m/phút. Thời gian đi hết quãng đường $AD=4050$ m là $t=4050:270=15$ phút. Khớp với đáp án chính thức mã đề 132, câu 5 = 15.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $P$ thuộc trục $Oz$ nên $P(0;0;z)$. Ta có $\overrightarrow{MN}=(2;1;-1)$ và $\overrightarrow{MP}=(-2;-1;z-2)$. Để $M;N;P$ thẳng hàng thì $\overrightarrow{MP}=k\overrightarrow{MN}$: từ $-2=2k$ và $-1=k$ suy ra $k=-1$; khi đó $z-2=(-1)(-1)=1\Rightarrow z=3$. Vậy $P(0;0;3)$, tương ứng phương án B.

$M\in (Oyz)\Rightarrow M(0;y;z)$; $\overrightarrow{AB}=(-6;6;6)$; $\overrightarrow{AM}=(-3;y+1;z-1)$. (0,25 điểm)

Do $A,B,M$ thẳng hàng nên có $\overrightarrow{AM}=k.\overrightarrow{AB}$ $(k\in \mathbb{R})$

$$\iff \{\begin{array}{l}-3=-6k\\ y+1=6k\\ z-1=6k\end{array}\iff \{\begin{array}{l}k=\frac{1}{2}\\ y=2\\ z=4\end{array}\Rightarrow M(0;2;4).$$ (0,25 điểm)

Khi đó $\overrightarrow{BM}=(-3;3;3)$ ; $\overrightarrow{AM}=(3;-3;-3)$ $\Rightarrow AM=3\sqrt{3};BM=3\sqrt{3}$ (0,25 điểm)

Vậy $\frac{AM}{BM}=1$ (0,25 điểm)

$M\in (Oxz)\Rightarrow M(x;0;z)$ ; $\overrightarrow{AB}=(6;-6;-6)$ ; $\overrightarrow{AM}=(x+1;-4;z-2)$ (0,25 điểm)

$A,B,M$ thẳng hàng $\iff \overrightarrow{AM}=k.\overrightarrow{AB}$ $(k\in \mathbb{R})\iff \{\begin{array}{l}x+1=6k\\ -4=-6k\\ z-2=-6k\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=3\\ k=\frac{2}{3}\\ z=-2\end{array}$ (0,25 điểm)

$\Rightarrow M(3;0;-2)$.

$\overrightarrow{BM}=(-2;2;2)$ ; $\overrightarrow{AM}=(4;-4;-4)\Rightarrow AM=4\sqrt{3};BM=2\sqrt{3}$ (0,25 điểm)

Vậy $\frac{AM}{BM}=2$ (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{BC}=(-3;2;-2)$. Gọi $H=B+t\overrightarrow{BC}=(2-3t;-1+2t;3-2t)$. Điều kiện $AH\perp BC$: $\overrightarrow{AH}=(1-3t;-3+2t;-2t)$, nên $\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{BC}=-3(1-3t)+2(-3+2t)-2(-2t)=-9+17t=0\Rightarrow t=\frac{9}{17}$. Suy ra $H\left(\frac{7}{17};\frac{1}{17};\frac{33}{17}\right)$, nên $a+b+c=\frac{41}{17}$ và $P=17\cdot \frac{41}{17}=41$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}=(-2;2;-2)$. Phương trình tham số: $x=2-2t,y=1+2t,z=1-2t$. Vì $C$ thuộc mặt phẳng $Oxy$ nên $z=0\Rightarrow 1-2t=0\Rightarrow t=\frac{1}{2}$. Suy ra $C(1;2;0)$, tức $a=1,b=2,c=0$. Vậy $a-b+2025c=1-2+0=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
VTCT của $\overrightarrow{AB}=B-A=(-2;1;2)$. Đường thẳng đi qua $A(1;1;1)$ nên có phương trình $\frac{x-1}{-2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{2}$, trùng đáp án A. Kiểm tra: $B(-1;2;3)$ thỏa vì $\frac{-2}{-2}=\frac{1}{1}=\frac{2}{2}=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ đi qua $M(2;2;1)$ với vectơ chỉ phương $\vec{u}=(5;2;-3)$ có phương trình tham số $x=2+5t,y=2+2t,z=1-3t$. Khớp với phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Véc tơ chỉ phương của đường thẳng $MN$ là $\overrightarrow{MN}=N-M=(1-(-1);3-(-1);4-2)=(2;4;2)$. Chia cho 2 ta được $(1;2;1)$, tương ứng với phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $3\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=3(A-M)+2(B-M)-(C-M)=6M-(3A+2B-C)$. Tính $3A+2B-C=(3+6-2;-6+2-2;6-2-0)=(7;-6;4)=G$. Vậy cần tìm $M$ trên $(d)$ để $|6M-G|$ nhỏ nhất, tức $M$ là chân đường vuông góc hạ từ $G$ xuống $(d)$. Đường thẳng $(d)$ đi qua $P_0(0;-\frac{3}{2};1)$ với vectơ chỉ phương $\vec{u}=(0;1;2)$. Ta có $\overrightarrow{P_{0}G}=(7;-\frac{9}{2};3)$, nên $t=\frac{\overrightarrow{P_{0}G}\cdot \vec{u}}{|\vec{u}{|}^2}=\frac{-\frac{9}{2}+6}{5}=\frac{3}{10}$. Suy ra $M(0;-\frac{3}{2}+\frac{3}{10};1+\frac{6}{10})=(0;-\frac{6}{5};\frac{8}{5})$, tức $a=0,b=-\frac{6}{5},c=\frac{8}{5}$. Khi đó $P=3a-2b+c=0+\frac{12}{5}+\frac{8}{5}=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:\frac{x+1}{1}=\frac{y-2}{3}=\frac{z}{-2}$ có vectơ chỉ phương dạng $(1;3;-2)$ hoặc bất kỳ vectơ nào cùng phương với nó. Trong các đáp án, $\vec{u}=(-1;-3;2)=-(1;3;-2)$ cùng phương với vectơ chỉ phương này, nên $\vec{u}=(-1;-3;2)$ là vectơ chỉ phương của $d$. Các vectơ ở B, C, D không cùng phương với $(1;3;-2)$.

(AI giải đề cho tôi)
Máy bay bay theo đường thẳng AB nên M nằm trên đường thẳng qua $A(5;0;5)$ với vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}=(5;10;-2)$. Phương trình tham số: $x=5+5t,y=10t,z=5-2t$. Vì M nằm trên mặt sân bay nên $z=0\Rightarrow 5-2t=0\Rightarrow t=2,5$. Suy ra $a=5+5(2,5)=17,5$, $b=10(2,5)=25$. Vậy $a+b=17,5+25=42,5$.