Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng Oxyz (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng AB: điểm $A(12;83;-2)$, vecto $\overrightarrow{AB}=(-9;-90;18)$. Điểm trên đường thẳng: $(12-9t;83-90t;-2+18t)$. Giao với mặt biển $z=0$: $-2+18t=0\Rightarrow t=\frac{1}{9}$. Khi đó $a=12-1=11$, $b=83-10=73$, $c=0$. Vậy $a+b+c=84$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vị trí cabin tại thời điểm $t$: $M(t)=A+s\vec{u}$ với $s$ là quãng đường theo tham số (mét). Khoảng cách từ $I(50;-10;50)$ đến đường thẳng nhỏ nhất khi $IM\perp \vec{u}$, tức $\overrightarrow{AI}\cdot \vec{u}-s|\vec{u}{|}^2=0$ với $\overrightarrow{AI}=(40;-13;50)$. Tính $\overrightarrow{AI}\cdot \vec{u}=80+26+50=156$, $|\vec{u}{|}^2=9$, nên $s=156/9=52/3\approx 17,33$ m. Vì cabin chuyển động đều với tốc độ $4,5$ m/s, thời gian $t=\frac{52/3}{4,5}=\frac{52}{13,5}\approx 3,85$ giây, làm tròn đến hàng đơn vị là $4$ giây.

(AI giải đề cho tôi)
Điểm trên d có dạng $M(4+2t;4+2t;2-t)$. Ta có $\overrightarrow{AM}=(3+2t;3+2t;3-t)$. Để $H$ là hình chiếu vuông góc thì $\overrightarrow{AH}\cdot \vec{u}=0$ với $\vec{u}=(2;2;-1)$: $(3+2t)\cdot 2+(3+2t)\cdot 2+(3-t)\cdot (-1)=0\Rightarrow 6+4t+6+4t-3+t=0\Rightarrow 9+9t=0\Rightarrow t=-1$. Suy ra $H(2;2;3)$, nên $a+b+c=2+2+3=7$.

(AI giải đề cho tôi)
Cabin chuyển động thẳng đều trên đường có vectơ chỉ phương $\vec{u}(2;-2;1)$, xuất phát từ $A(10;3;0)$. Sau 3 phút, hoành độ $x_B=550$: $10+2k=550\Rightarrow k=270$, tức sau 3 phút cabin đi được quãng đường $k\cdot |\vec{u}|=270\cdot 3=810$ m. Vận tốc $v=810:3=270$ m/phút. Thời gian đi hết quãng đường $AD=4050$ m là $t=4050:270=15$ phút. Khớp với đáp án chính thức mã đề 132, câu 5 = 15.

$M\in (Oxz)\Rightarrow M(x;0;z)$ ; $\overrightarrow{AB}=(6;-6;-6)$ ; $\overrightarrow{AM}=(x+1;-4;z-2)$ (0,25 điểm)

$A,B,M$ thẳng hàng $\iff \overrightarrow{AM}=k.\overrightarrow{AB}$ $(k\in \mathbb{R})\iff \{\begin{array}{l}x+1=6k\\ -4=-6k\\ z-2=-6k\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=3\\ k=\frac{2}{3}\\ z=-2\end{array}$ (0,25 điểm)

$\Rightarrow M(3;0;-2)$.

$\overrightarrow{BM}=(-2;2;2)$ ; $\overrightarrow{AM}=(4;-4;-4)\Rightarrow AM=4\sqrt{3};BM=2\sqrt{3}$ (0,25 điểm)

Vậy $\frac{AM}{BM}=2$ (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{BC}=(-3;2;-2)$. Gọi $H=B+t\overrightarrow{BC}=(2-3t;-1+2t;3-2t)$. Điều kiện $AH\perp BC$: $\overrightarrow{AH}=(1-3t;-3+2t;-2t)$, nên $\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{BC}=-3(1-3t)+2(-3+2t)-2(-2t)=-9+17t=0\Rightarrow t=\frac{9}{17}$. Suy ra $H\left(\frac{7}{17};\frac{1}{17};\frac{33}{17}\right)$, nên $a+b+c=\frac{41}{17}$ và $P=17\cdot \frac{41}{17}=41$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $3\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=3(A-M)+2(B-M)-(C-M)=6M-(3A+2B-C)$. Tính $3A+2B-C=(3+6-2;-6+2-2;6-2-0)=(7;-6;4)=G$. Vậy cần tìm $M$ trên $(d)$ để $|6M-G|$ nhỏ nhất, tức $M$ là chân đường vuông góc hạ từ $G$ xuống $(d)$. Đường thẳng $(d)$ đi qua $P_0(0;-\frac{3}{2};1)$ với vectơ chỉ phương $\vec{u}=(0;1;2)$. Ta có $\overrightarrow{P_{0}G}=(7;-\frac{9}{2};3)$, nên $t=\frac{\overrightarrow{P_{0}G}\cdot \vec{u}}{|\vec{u}{|}^2}=\frac{-\frac{9}{2}+6}{5}=\frac{3}{10}$. Suy ra $M(0;-\frac{3}{2}+\frac{3}{10};1+\frac{6}{10})=(0;-\frac{6}{5};\frac{8}{5})$, tức $a=0,b=-\frac{6}{5},c=\frac{8}{5}$. Khi đó $P=3a-2b+c=0+\frac{12}{5}+\frac{8}{5}=4$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường đi của tàu có phương vectơ $\vec{u}(2;-2;1)$, $|\vec{u}|=3$. Điểm B có hoành độ $x_B=610$ nên $\overrightarrow{AB}=k\vec{u}$ với $10+2k=610\Rightarrow k=300$. Vậy $AB=300\cdot |\vec{u}|=300\cdot 3=900$ m. Thời gian đi từ A đến B là 6 phút nên vận tốc $v=900/6=150$ m/phút. Quãng đường $AD=2700$ m nên thời gian đi từ A đến D là $2700/150=18$ phút.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: tại thời điểm đập cầu quả cầu ở A(12;2;5/2) nên độ cao là z = 5/2 = 2,5 m, không phải 2 m.
b) Đúng: sân dài 13 m theo trục x (hình vẽ ghi 6,5 m mỗi nửa), lưới chia sân thành hai nửa bằng nhau nên nằm tại x = 13/2; mặt phẳng chứa lưới vuông góc với sân là x = 13/2.
c) Sai: |u| = sqrt((11/2)^2 + 1 + 1) = sqrt(129)/2. Vectơ vận tốc ngược hướng u với độ lớn sqrt(129) m/s phải là v = -2u = (-11; 2; -2), không phải (-1; 2; -2) vì vectơ này có độ lớn 3.
d) Đúng: cầu bay theo hướng -u (về phía lưới): x(t) = 12 - (11/2)t. Tại mặt lưới x = 13/2: 12 - (11/2)t = 13/2 → t = 1, khi đó z = 5/2 - 1 = 3/2 = 1,5 m. Lưới cao từ 0,75 m đến 0,75 + 0,8 = 1,55 m; vì 0,75 < 1,5 < 1,55 nên quả cầu bị lưới chặn.
a) (AI giải đề cho tôi)
Điểm A(12;2;5/2) nên độ cao là 5/2 = 2,5 m, không phải 2 m.
b) (AI giải đề cho tôi)
Sân dài 13 m theo trục x, lưới ở giữa nên mặt phẳng chứa lưới là x = 13/2.
c) (AI giải đề cho tôi)
|u| = sqrt(129)/2 nên v = -2u = (-11; 2; -2); vectơ (-1; 2; -2) có độ lớn 3, sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tại x = 13/2 (t = 1) thì z = 1,5 m, nằm trong khoảng 0,75 m đến 1,55 m nên cầu bị lưới chặn.

(AI giải đề cho tôi)
Cabin chuyển động trên đường thẳng cùng phương với vectơ $\vec{u}=(2;-1;2)$ có độ dài $|\vec{u}|=\sqrt{4+1+4}=3$. Sau 4 phút cabin đến $B$ với $x_B=450$: do $\overrightarrow{AB}=k\vec{u}$ nên $x_B=10+2k=450\Rightarrow k=220$, suy ra $AB=220\cdot 3=660$ m. Vận tốc cabin $v=660/4=165$ m/phút. Thời gian đi hết quãng đường $AD=3795$ m là $t=3795/165=23$ phút.

(AI giải đề cho tôi)
Cabin chuyển động đều trên đường thẳng cùng phương với $\vec{u}(2;-2;1)$, nên $B=A+k\vec{u}$. Vì $x_B=550$: $10+2k=550\Rightarrow k=270$. Suy ra $AB=k|\vec{u}|=270\cdot 3=810$ m đi trong 3 phút, tức vận tốc $v=810:3=270$ m/phút. Thời gian đi hết quãng đường $AD=4050$ m là $t=4050:270=15$ phút. Kết quả khớp với đáp án nguồn (15).

(AI giải đề cho tôi)
Cabin chuyển động đều theo phương của vectơ $\vec{u}=(6;3;2)$, có $|\vec{u}|=\sqrt{6^2+3^2+2^2}=7$. Sau 10 giây, tung độ z tăng từ 10 lên 30, tức $\Delta z=20$. Vì thành phần z của vectơ chỉ phương là 2, quãng đường đi được trong 10 giây là $\frac{20}{2}\cdot 7=70m$. Vận tốc của cabin là $v=70/10=7m/s$. Tổng thời gian trên quãng đường $AM=5261m$ là $t=\frac{5261}{7}\approx 751,57\approx 752$ giây.

(AI giải đề cho tôi)
Vector chỉ phương của $d_1$ là $\overrightarrow{u_1}=(1;-1;1)$, của $d_2$ là $\overrightarrow{u_2}=(-1;2;2)$. Vì $\Delta$ vuông góc với cả hai đường thẳng nên vector chỉ phương của $\Delta$ là $\vec{u}=\overrightarrow{u_1}\times \overrightarrow{u_2}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& -1& 1\\ -1& 2& 2\end{array}\right|=(-1\cdot 2-1\cdot 2;1\cdot (-1)-1\cdot 2;1\cdot 2-(-1)(-1))=(-4;-3;1)$. Đường thẳng $\Delta$ đi qua $A(2;-1;-3)$ nên có phương trình chính tắc: $\frac{x-2}{-4}=\frac{y+1}{-3}=\frac{z+3}{1}$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng cần tìm đi qua $A(-3;3;-2)$, song song với $(P)$ nên vuông góc với pháp tuyến ${\vec{n}}_P=(1;2;3)$, và vuông góc với $d$ có vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_d=(-1;2;2)$. Vậy vectơ chỉ phương của đường thẳng là $\vec{u}=[{\vec{n}}_P,{\vec{u}}_d]=(2\cdot 2-3\cdot 2;3\cdot (-1)-1\cdot 2;1\cdot 2-2\cdot (-1))=(-2;-5;4)$, lấy tỉ lệ $(2;5;-4)$. Phương trình: $\frac{x+3}{2}=\frac{y-3}{5}=\frac{z+2}{-4}$. Kiểm tra: $(2;5;-4)\cdot (1;2;3)=2+10-12=0$ (song song $(P)$) và $(2;5;-4)\cdot (-1;2;2)=-2+10-8=0$ (vuông góc $d$). Kết quả trùng đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Đường trượt zipline là đoạn thẳng từ $A(3;2,5;15)$ đến $B(21;27,5;10)$. Phương trình tham số: $\overrightarrow{AB}=(18;25;-5)$, nên $\{\begin{array}{l}x=3+18t\\ y=2,5+25t\\ z=15-5t\end{array}$. Khi độ cao $z=12$: $15-5t=12\Rightarrow t=\frac{3}{5}$. Suy ra $x=3+18\cdot \frac{3}{5}=\frac{69}{5}$, $y=2,5+25\cdot \frac{3}{5}=\frac{35}{2}$. Vậy tọa độ cần tìm là $\left(\frac{69}{5};\frac{35}{2};12\right)$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:\frac{x+4}{3}=\frac{y-5}{-4}=\frac{z+2}{1}$ đi qua điểm $P(-4;5;-2)$ và có VTCP ${\vec{u}}_d=(3;-4;1)$.

a) Thay $M(3;-4;1)$: $\frac{3+4}{3}=\frac{7}{3}$ còn $\frac{-4-5}{-4}=\frac{9}{4}$, hai giá trị khác nhau nên $M\notin d$. Khẳng định SAI.

b) $\vec{u}(-3;4;-1)=-{\vec{u}}_d$ nên cũng là một VTCP của $d$. Khẳng định ĐÚNG.

c) Đường thẳng $\Delta$ có VTCP $(3;-4;1)$ cùng hướng với $d$ và đi qua điểm $(-4;5;-2)$ chính là điểm trên $d$, nên $\Delta$ trùng với $d$ (không phải song song theo nghĩa hai đường phân biệt). Khẳng định SAI.

d) Xét ${\Delta }^{\prime }:\frac{x+4}{3}=\frac{y+1}{-4}=\frac{z+1}{1}$, VTCP $(3;-4;1)$ cùng phương với $d$ nên song song với $d$ (điểm $(-4;-1;-1)\notin d$ vì $\frac{-1-5}{-4}=\frac{3}{2}\ne \frac{0}{1}$). Kiểm tra cắt $d_1$: điểm $(-4;-1;-1)+t(3;-4;1)$ với $d_1:(1;-1;2)+s(3;1;2)$: từ $y$: $-1-4t=-1+s\Rightarrow s=-4t$; từ $z$: $-1+t=2+2s\Rightarrow 9t=3\Rightarrow t=\frac{1}{3},s=-\frac{4}{3}$; kiểm tra $x$: $-4+1=-3=1-4$ ✓. Vậy ${\Delta }^{\prime }$ cắt $d_1$. Kiểm tra cắt $d_2$: $(-2;3;0)+r(2;4;1)$: từ $z$: $r=t-1$; từ $x$: $-4+3t=-2+2(t-1)\Rightarrow t=0,r=-1$; kiểm tra $y$: $-1=3-4$ ✓. Vậy ${\Delta }^{\prime }$ cắt cả $d_1$ và $d_2$. Khẳng định ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay $M(3;-4;1)$ vào $d$: $\frac{3+4}{3}=\frac{7}{3}\ne \frac{-4-5}{-4}=\frac{9}{4}$ nên $M\notin d$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{u}(-3;4;-1)=-{\vec{u}}_d$ với ${\vec{u}}_d=(3;-4;1)$, nên $\vec{u}$ cũng là một VTCP của $d$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\Delta$ có cùng VTCP $(3;-4;1)$ và đi qua điểm $(-4;5;-2)$ thuộc $d$, nên $\Delta$ trùng với $d$, không song song.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\Delta }^{\prime }:\frac{x+4}{3}=\frac{y+1}{-4}=\frac{z+1}{1}$ có VTCP $(3;-4;1)$ cùng phương với $d$ và không nằm trên $d$ nên song song với $d$. Giải hệ với $d_1$ được $t=\frac{1}{3},s=-\frac{4}{3}$ thỏa cả ba phương trình nên cắt $d_1$; giải hệ với $d_2$ được $t=0,r=-1$ thỏa cả ba phương trình nên cắt $d_2$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Thay M(1;-1;1) vào d: (1-1)/2=0, (-1+1)/1=0, 1/(-1)=-1 ≠ 0 nên M không thuộc d → Sai.
b) Từ phương trình chính tên của d, VTCP là u=(2;1;-1) → Đúng.
c) Δ có VTCP (2;1;-1) cùng phương với u và điểm (1;-1;0) chính là điểm đi qua của d, nên Δ trùng với d chứ không song song → Sai.
d) Gọi H(1+2s; -1+s; -s) ∈ d sao cho MH ⊥ d: (2s-1)·2 + (s-2)·1 + (-s)·(-1) = 6s-4 = 0 ⇒ s = 2/3, H(7/3; -1/3; -2/3). VTCP của Δ: H−M = (1/3; -4/3; -2/3) ∝ (1; -4; -2). Đường thẳng qua M(2;1;0) với VTCP (1;-4;-2): x=2+t, y=1-4t, z=-2t → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay M(1;-1;1) vào d: (1-1)/2=0, (-1+1)/1=0, 1/(-1)=-1 ≠ 0 nên M không thuộc d.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình chính tên của d, một VTCP là u=(2;1;-1).
c) (AI giải đề cho tôi)
Δ có VTCP (2;1;-1) cùng phương với u của d và đi qua điểm (1;-1;0) thuộc d, nên Δ trùng d chứ không song song.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu H của M trên d: H(1+2s;-1+s;-s), MH·u=0 ⇒ 6s-4=0 ⇒ s=2/3, H(7/3;-1/3;-2/3). VTCP Δ ∝ (1;-4;-2), phương trình x=2+t, y=1-4t, z=-2t.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ đi qua điểm $P(1;3;2)$ và có VTCP $\overrightarrow{u_d}=(1;-1;2)$.
a) Thay $M(1;3;-2)$ vào $d$: $\frac{1-1}{1}=0$, $\frac{3-3}{-1}=0$ nhưng $\frac{-2-2}{2}=-2\ne 0$, nên $M\notin d$. Khẳng định SAI.
b) VTCP của $d$ là $\overrightarrow{u_d}=(1;-1;2)$, không cùng phương với $(-1;1;2)$ vì các tỉ số $\frac{-1}{1}=-1$, $\frac{1}{-1}=-1$, $\frac{2}{2}=1$ không bằng nhau. Khẳng định SAI.
c) $\Delta$ có VTCP $(1;-1;2)$ cùng phương với $\overrightarrow{u_d}$ và đi qua điểm $(1;3;2)$ thuộc $d$, nên $d$ và $\Delta$ trùng nhau chứ không song song. Khẳng định SAI.
d) $d_2$ có VTCP $\overrightarrow{u_2}=(-3;1;-3)$, đi qua $(0;0;-1)$. VTCP vuông góc chung: $\overrightarrow{u_d}\times \overrightarrow{u_2}=(1;-3;-2)$, trùng với VTCP của đường đã cho. Điểm $(2;2;4)$ thuộc $d$ (với $t=1$). Xét đường $(2;2;4)+s(1;-3;-2)$ cắt $d_2$: từ $y$: $t=2-3s$; từ $x$: $2+s=-3t=-6+9s\Rightarrow s=1,t=-1$; kiểm tra $z$: $4-2=2=-1-3(-1)=2$ thỏa mãn, giao điểm $(3;-1;2)\in d_2$. Vậy đường vuông góc chung đúng là $\frac{x-2}{1}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z-4}{-2}$. Khẳng định ĐÚNG.
a) Thay $M(1;3;-2)$ vào $d$: $\frac{1-1}{1}=0$, $\frac{3-3}{-1}=0$ nhưng $\frac{-2-2}{2}=-2\ne 0$, nên $M\notin d$. Khẳng định SAI.
b) VTCP của $d$ là $\overrightarrow{u_d}=(1;-1;2)$, không cùng phương với $(-1;1;2)$ (các tỉ số $-1;-1;1$ không bằng nhau). Khẳng định SAI.
c) $\Delta$ có VTCP $(1;-1;2)$ cùng phương với $\overrightarrow{u_d}=(1;-1;2)$ và đi qua điểm $(1;3;2)$ thuộc $d$, nên $d$ và $\Delta$ trùng nhau chứ không song song. Khẳng định SAI.
d) $d_2$ có VTCP $\overrightarrow{u_2}=(-3;1;-3)$, đi qua $(0;0;-1)$. VTCP vuông góc chung: $\overrightarrow{u_d}\times \overrightarrow{u_2}=(1;-3;-2)$, trùng với VTCP $(1;-3;-2)$ của đường đã cho. Điểm $(2;2;4)$ thuộc $d$ (với $t=1$). Đường này cắt $d_2$ tại $(3;-1;2)$ (với $t=-1$), vuông góc với cả hai đường. Vậy khẳng định ĐÚNG.

(AI giải đề cho tôi)
VTCP của $d_1$ là $\overrightarrow{u_1}=(1;-4;6)$, của $d_2$ là $\overrightarrow{u_2}=(2;1;-5)$. VTCP của $d_3$ vuông góc với cả hai đường: $\overrightarrow{u_3}=\overrightarrow{u_1}\times \overrightarrow{u_2}=(14;17;9)$. Vậy $\frac{x-1}{14}=\frac{y+1}{17}=\frac{z-2}{9}$, suy ra $b=17$, $a=2$, $c=9$, do đó $a+b+c=28$.