Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hệ thức lượng trong tam giác (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Tổng ba góc: $C=180^{\circ }-45^{\circ }-60^{\circ }=75^{\circ }$. a) Công thức diện tích $S=\frac{1}{2}ab\sin C$ là đúng (diện tích bằng nửa tích hai cạnh kề một góc nhân sin góc đó). b) Sai vì $C=75^{\circ }$, không phải $65^{\circ }$. c) Theo định lý sin: $\frac{b}{\sin B}=\frac{a}{\sin A}\Rightarrow b=\frac{7\sin 60^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}=\frac{7\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{7\sqrt{6}}{2}$, đúng. d) Bán kính đường tròn ngoại tiếp: $R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{7}{2\sin 45^{\circ }}=\frac{7}{\sqrt{2}}=\frac{7\sqrt{2}}{2}\ne \frac{7\sqrt{3}}{3}$, sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Công thức $S=\frac{1}{2}ab\sin C$ là công thức tính diện tích tam giác đúng, với $a,b$ là hai cạnh kề góc $C$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$C=180^{\circ }-45^{\circ }-60^{\circ }=75^{\circ }\ne 65^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Định lý sin: $b=\frac{a\sin B}{\sin A}=\frac{7\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{7\sqrt{6}}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{7}{2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{7\sqrt{2}}{2}\ne \frac{7\sqrt{3}}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Nửa chu vi $p=\frac{13+14+15}{2}=21$. Diện tích theo công thức Heron: $S=\sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}=\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=\sqrt{7056}=84$. Theo hệ thức $S=\frac{abc}{4R}$ nên $R=\frac{abc}{4S}=\frac{13\cdot 14\cdot 15}{4\cdot 84}=\frac{2730}{336}=\frac{65}{8}=8,125$. Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là $R=\frac{65}{8}$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin trong tam giác $ABC$: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos \widehat{BAC}=2^2+3^2-2\cdot 2\cdot 3\cdot \cos 60^{\circ }=4+9-12\cdot \frac{1}{2}=13-6=7$. Vậy $BC=\sqrt{7}$, tương ứng phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin: $\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}$, nên $AC=\frac{AB\cdot \sin B}{\sin C}=\frac{3\cdot \sin 30^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}=\frac{3\cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác có ba cạnh 5, 12, 13. Vì $5^2+12^2=25+144=169=13^2$ nên tam giác vuông với hai cạnh góc vuông là 5 và 12. Diện tích $S=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 12=30$. Vậy chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Diện tích tam giác: $S=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 5\cdot \sin 150^0=10\cdot \frac{1}{2}=5$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí côsin: $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$ (đúng, phương án A); $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ (đúng, phương án B); $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$ (đúng, phương án D). Phương án C viết $c^2=b^2+a^2+2ab\cos C$ với dấu cộng nên sai. Vậy đẳng thức sai là C.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác vuông cân tại $A$ với cạnh góc vuông $x$, cạnh huyền $x\sqrt{2}$. Bán kính đường tròn ngoại tiếp $R=\frac{x\sqrt{2}}{2}$. Bán kính đường tròn nội tiếp $r=\frac{x+x-x\sqrt{2}}{2}=\frac{x(2-\sqrt{2})}{2}$. Suy ra $\frac{R}{r}=\frac{\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}(2+\sqrt{2})}{2}=\sqrt{2}+1$. Vậy $a=1,b=1,c=2$, $T=a+b+c=4$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{25+64-49}{80}=\frac{1}{2}$, nên $\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Diện tích $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin A=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin trong tam giác $ABC$: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A$. Suy ra $\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{4^2+9^2-7^2}{2\cdot 4\cdot 9}=\frac{16+81-49}{72}=\frac{48}{72}=\frac{2}{3}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác đều cạnh $a$ có bán kính đường tròn ngoại tiếp $R=\frac{a}{2\sin 60^{\circ }}=\frac{a}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{a}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=49+25-2\cdot 7\cdot 5\cdot \cos 120^{\circ }=74+35=109$, nên $a=\sqrt{109}\approx 10,44cm$, không phải $\sqrt{127}$ → a) Sai.
$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{109+49-25}{14\sqrt{109}}=\frac{133}{14\sqrt{109}}\approx 0,91$ → b) Đúng.
$\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{109+25-49}{10\sqrt{109}}=\frac{85}{10\sqrt{109}}\approx 0,81\ne 0,21$ → c) Sai.
$R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{\sqrt{109}}{2\sin 120^{\circ }}=\frac{\sqrt{109}}{\sqrt{3}}\approx 6,03cm$ → d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$a^2=49+25-70\cos 120^{\circ }=109$ nên $a=\sqrt{109}cm\ne \sqrt{127}cm$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\cos C=\frac{109+49-25}{14\sqrt{109}}\approx 0,91$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\cos B=\frac{109+25-49}{10\sqrt{109}}\approx 0,81\ne 0,21$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$R=\frac{\sqrt{109}}{2\sin 120^{\circ }}=\frac{\sqrt{109}}{\sqrt{3}}\approx 6,03cm$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi B, C là vị trí hai tàu sau 2,5 giờ. Tàu thứ nhất đi AB = 8 · 2,5 = 20 hải lí; tàu thứ hai đi AC = 12 · 2,5 = 30 hải lí; góc BAC = 65°. Theo định lí cosin trong tam giác ABC: BC² = AB² + AC² − 2·AB·AC·cos65° = 400 + 900 − 2·20·30·cos65° = 1300 − 1200·cos65° ≈ 1300 − 1200·0,42262 ≈ 792,86. Suy ra BC ≈ √792,86 ≈ 28,2 hải lí. Vậy sau 2,5 giờ khoảng cách giữa hai tàu khoảng 28,2 hải lí.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 2: Tam giác ABC có BC = 20, CA = 7, AB = 15.

a) Theo định lí côsin: $\cos C=\frac{C{A}^2+C{B}^2-A{B}^2}{2\cdot CA\cdot CB}=\frac{7^2+20^2-15^2}{2\cdot 7\cdot 20}=\frac{49+400-225}{280}=\frac{224}{280}=\frac{4}{5}=0,8$.

Suy ra $\sin C=\sqrt{1-0,8^2}=0,6$ (vì $0^{\circ }<C<180^{\circ }$ nên $\sin C>0$).

Diện tích: $S=\frac{1}{2}\cdot CA\cdot CB\cdot \sin C=\frac{1}{2}\cdot 7\cdot 20\cdot 0,6=42$.

b) Côsin góc C: $\cos C=\frac{4}{5}=0,8$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình trang 12 xác nhận: $A$, $B$, $C$ thẳng hàng trên mặt đất, $AB=20$ m, góc nâng từ $A$ là $18^{\circ }$, từ $B$ là $31^{\circ }$, tháp $CT$ vuông góc mặt đất tại $C$.

Xét tam giác $ABT$: $\widehat{TAB}=18^{\circ }$, $\widehat{ABT}=180^{\circ }-31^{\circ }=149^{\circ }$ (góc ngoài tại $B$), suy ra $\widehat{ATB}=180^{\circ }-18^{\circ }-149^{\circ }=13^{\circ }$.

Theo định lý sin:
$$\frac{BT}{\sin 18^{\circ }}=\frac{AB}{\sin 13^{\circ }}\Rightarrow BT=\frac{20\cdot \sin 18^{\circ }}{\sin 13^{\circ }}=\frac{20\cdot 0,3090}{0,2250}\approx 27,47\text{ m}.$$

Tam giác vuông $BCT$ (vuông tại $C$):
$$CT=BT\cdot \sin 31^{\circ }\approx 27,47\cdot 0,5150\approx 14,15\text{ m}.$$

Vậy chiều cao tháp xấp xỉ $14$ m (làm tròn đến hàng đơn vị).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: PA = 8 km, AD = 3 km, PB = 7 km, góc APB = 40°, góc PAD = 100°. Cần tính BD.

1) Tam giác PAD (cosin):
$$P{D}^2=P{A}^2+A{D}^2-2\cdot PA\cdot AD\cdot \cos 100^{\circ }=64+9-48\cos 100^{\circ }\approx 73+48(0,17365)\approx 81,335$$
$$PD\approx 9,019\text{ km}$$

2) Tính góc APD (định lý sin):
$$\frac{\sin \widehat{APD}}{AD}=\frac{\sin 100^{\circ }}{PD}\Rightarrow \sin \widehat{APD}=\frac{3\sin 100^{\circ }}{9,019}\approx 0,3276\Rightarrow \widehat{APD}\approx 19,12^{\circ }$$

3) Vì góc APB = 40° nên:
$$\widehat{BPD}=40^{\circ }-19,12^{\circ }=20,88^{\circ }$$

4) Tam giác PBD (cosin):
$$B{D}^2=P{B}^2+P{D}^2-2\cdot PB\cdot PD\cdot \cos 20,88^{\circ }\approx 49+81,335-2(7)(9,019)(0,9343)\approx 12,37$$
$$BD\approx 3,52\text{ km}$$

Vậy bạn Bình phải đi thêm khoảng 3,52 km để đến đích D.

(AI giải đề cho tôi)
Tách tứ giác ABCD thành hai tam giác ABD và BCD theo đường chéo BD.

1) Trong tam giác ABD: AB = 15 m, AD = 22 m, góc BAD = 73,07°.
- BD² = 15² + 22² − 2·15·22·cos73,07° ≈ 225 + 484 − 660·0,29116 ≈ 516,83 ⇒ BD ≈ 22,73 m.
- S_{ABD} = ½·15·22·sin73,07° ≈ 165·0,95668 ≈ 157,85 m².

2) Trong tam giác BCD: BC = 10 m, CD = 18 m, BD ≈ 22,73 m.
- cos C = (10² + 18² − 516,83)/(2·10·18) ≈ −92,83/360 ≈ −0,2579 ⇒ C ≈ 104,94°, sin C ≈ 0,9702.
- S_{BCD} = ½·10·18·0,9702 ≈ 87,32 m².

3) Diện tích mảnh đất: S ≈ 157,85 + 87,32 ≈ 245,2 m².

4) Số tiền đền bù: 245,2 · 1,2 ≈ 294,2 triệu đồng.

Vậy gia đình bác An nhận được khoảng 294 triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin trong tam giác $ABC$ với $AC=70$, $BC=100$, góc $C=60^{\circ }$:
$$A{B}^2=70^2+100^2-2\cdot 70\cdot 100\cdot \cos 60^{\circ }=4900+10000-7000=7900$$
$$AB=\sqrt{7900}=10\sqrt{79}\approx 88,88\text{ km}$$
Lộ trình cũ dài $70+100=170$ km, tiêu hao $\frac{170}{20}=8,5$ lít. Đường hầm dài $\approx 88,88$ km, tiêu hao $\frac{88,88}{20}\approx 4,44$ lít. Vậy tiết kiệm được $8,5-4,44\approx 4,06$ lít nhiên liệu (chính xác: $\frac{170-10\sqrt{79}}{20}=8,5-\frac{\sqrt{79}}{2}\approx 4,06$ lít).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi C là vị trí quan sát (cao 5 m so với mặt đất), D là hình chiếu của C trên phương thẳng đứng qua cột cờ, nên CD = 18 m. A là chân cột cờ (trên đỉnh toà nhà), B là đỉnh cột cờ. Theo hình vẽ, góc nâng từ C tới A là $40^{\circ }$ và tới B là $50^{\circ }$.

Trong tam giác vuông ACD: $AD=CD\cdot \tan 40^{\circ }=18\tan 40^{\circ }\approx 18\cdot 0,8391\approx 15,10$ m.

Trong tam giác vuông BCD: $BD=CD\cdot \tan 50^{\circ }=18\tan 50^{\circ }\approx 18\cdot 1,1918\approx 21,45$ m.

Chiều cao cột cờ: $AB=BD-AD=18(\tan 50^{\circ }-\tan 40^{\circ })\approx 21,45-15,10\approx 6,35$ m.

Vậy chiều cao cột cờ xấp xỉ 6,35 m (khoảng 6,3–6,4 m tuỳ độ chính xác khi làm tròn).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí côsin trong tam giác $ABC$: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$. Kiểm tra: khi $A=90^{\circ }$ thì $a^2=b^2+c^2$ (đúng với Pythagoras). Vậy mệnh đề đúng là phương án D.