Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $BC$ qua $B(2;1)$, $C(-1;-2)$ có phương trình $y=x-1$. Gọi $M(t;t-1)$ với $t-1>0$, tức $t>1$. Diện tích tam giác $ABC$: $S_{ABC}=\frac{1}{2}|\det (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})|$ với $\overrightarrow{AB}=(-1;-3)$, $\overrightarrow{AC}=(-4;-6)$, tích có hướng $=(-1)(-6)-(-3)(-4)=6-12=-6$, nên $S_{ABC}=3$. Diện tích tam giác $ABM$: $\overrightarrow{AM}=(t-3;t-5)$, tích có hướng với $\overrightarrow{AB}$: $(-1)(t-5)-(-3)(t-3)=2t-4$, nên $S_{ABM}=\frac{1}{2}|2t-4|=|t-2|$. Điều kiện $S_{ABC}=3S_{ABM}$: $3=3|t-2|\Rightarrow |t-2|=1\Rightarrow t=3$ hoặc $t=1$. Vì $t>1$ nên $t=3$, khi đó $M(3;2)$ (thỏa mãn tung độ dương và nằm trên $BC$ vì $2=3-1$). Vậy $M(3;2)$.

Đs: t = 3, S=24

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục toạ độ gốc $A$, bờ $AD$ là trục $Ox$, bờ $AB$ là trục $Oy$. Khi đó cọc $K$ có toạ độ $K(6;2)$ (cách $AD$ là $6m$, cách $AB$ là $2m$). Cây sào $PQ$ là đoạn thẳng cắt hai trục tại $P(0;b)$ trên $AB$ và $Q(a;0)$ trên $AD$, đi qua $K$, nên phương trình đường thẳng $PQ$ là $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ với $a>6,b>2$. Điều kiện qua $K$: $\frac{6}{a}+\frac{2}{b}=1$. Chiều dài cây sào $L=\sqrt{a^2+b^2}$. Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: ${\left(\frac{6}{a}+\frac{2}{b}\right)}^2\le {\left(\frac{6^{2/3}}{a^{2/3}}\cdot \frac{a^{2/3}}{L^{2/3}}+\frac{2^{2/3}}{b^{2/3}}\cdot \frac{b^{2/3}}{L^{2/3}}\right)}^2$... cách chuẩn: đặt $u=\frac{6}{a},v=\frac{2}{b},u+v=1$, khi đó $a=\frac{6}{u},b=\frac{2}{v}$, $L^2=\frac{36}{u^2}+\frac{4}{v^2}$. Xét hàm $f(u)=\frac{36}{u^2}+\frac{4}{(1-u{)}^2}$ trên $(0;1)$, đạo hàm $f^{\prime }(u)=-\frac{72}{u^3}+\frac{8}{(1-u{)}^3}=0\Rightarrow \frac{(1-u{)}^3}{u^3}=\frac{8}{72}=\frac{1}{9}\Rightarrow \frac{1-u}{u}=\frac{1}{\sqrt[3]{9}}\Rightarrow u=\frac{\sqrt[3]{9}}{1+\sqrt[3]{9}}$. Khi đó $L_{\min }=(6^{2/3}+2^{2/3}{)}^{3/2}$. Tính: $6^{2/3}\approx 3,3019$, $2^{2/3}\approx 1,5874$, tổng $\approx 4,8893$, lũy thừa $3/2$: $4,8893\cdot \sqrt{4,8893}\approx 4,8893\cdot 2,2112\approx 10,81$. Vậy chiều dài ngắn nhất của cây sào khoảng $10,8m$, khớp với đáp án nguồn $10,8$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:y=(m-3)x-2m+1$ cắt $Ox$ tại $A\left(\frac{2m-1}{m-3};0\right)$ (với $m\ne 3$) và cắt $Oy$ tại $B(0;1-2m)$. Tam giác $OAB$ vuông tại $O$ nên cân khi $OA=OB$, tức $\left|\frac{2m-1}{m-3}\right|=|2m-1|$. Suy ra $|2m-1|\left(\frac{1}{|m-3|}-1\right)=0$, cho $m=\frac{1}{2}$ hoặc $|m-3|=1\Rightarrow m=2$ hoặc $m=4$. Với $m=\frac{1}{2}$ thì $B(0;0)=O$, tam giác suy biến nên loại. Vậy $S=\{2;4\}$ có $2^2=4$ tập con. Đáp án A.

Gọi $d$ là đường thẳng qua $B$ và song song với $AC$.

Ta có $\{\begin{array}{l}B(0;3)\in d\\ {\vec{u}}_d=\overrightarrow{AC}=(5;-1)=-1.(-5;1)\end{array}\Rightarrow d:\{\begin{array}{l}x=-5t\\ y=3+t\end{array}(t\in \mathbb{R})$

Đường thẳng $\left(d\right)$ có một véctơ pháp tuyến là $\vec{n}=\left(3;5\right)$ nên $\left(d\right)$ có một véctơ chỉ phương là $\vec{u}=\left(5;-3\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Viết phương trình các cạnh và xét dấu với điểm trong tứ giác (lấy điểm thử $(1;0)$).
- $AB$: qua $A(-2;0)$, $B(0;3)$: $3x-2y+6=0$; tại $(1;0)$ giá trị $9>0$, nên miền trong yêu cầu $3m-2(m+1)+6=m+4>0\Rightarrow m>-4$.
- $BC$: qua $B(0;3)$, $C(3;2)$: $x+3y-9=0$; tại $(1;0)$ giá trị $-8<0$, nên $m+3(m+1)-9=4m-6<0\Rightarrow m<\frac{3}{2}$.
- $CD$: $x=3$; miền trong: $m<3$ (đã thỏa từ điều kiện trên).
- $DA$: qua $D(3;-2)$, $A(-2;0)$: $2x+5y+4=0$; tại $(1;0)$ giá trị $6>0$, nên $2m+5(m+1)+4=7m+9>0\Rightarrow m>-\frac{9}{7}$.
Vậy $-\frac{9}{7}<m<\frac{3}{2}$, các giá trị nguyên của $m$ là $m=-1;0;1$, tức có 3 giá trị. Kết quả khớp đáp án nguồn (3).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A(-3;0)$, $B(3;0)$ nằm trên trục hoành nên đường cao từ $C$ là đường thẳng $x=2$, do đó $a=2$.

Vectơ $\overrightarrow{BC}=(-1;6)$ có hệ số góc của $BC$ là $\frac{6}{-1}=-6$, nên đường cao từ $A$ vuông góc với $BC$ có hệ số góc $\frac{1}{6}$, phương trình: $y=\frac{1}{6}(x+3)$.

Tại $x=2$: $b=\frac{1}{6}(2+3)=\frac{5}{6}$.

Vậy $H\left(2;\frac{5}{6}\right)$ và $T=a+b=2+\frac{5}{6}=\frac{17}{6}\approx 2,83$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng chứa M có dạng $y=x+4$ (vì $M(m;m+4)$). Nó đi qua $D(-4;0)$ và song song với $EA$ (cùng hệ số góc 1). Xét giao của đường này với ngũ giác (là ngũ giác lồi, kiểm tra bằng tích có hướng các cạnh cùng dấu): giao với cạnh $AB$ ($y=-x+6$) tại $(1;5)$ nằm ngoài đoạn $AB$; giao với $BC$ ($y=4$, $x\in [-2;2]$) tại $(0;4)$ thuộc đoạn; giao với $CD$, $DE$ chỉ tại đỉnh $D$; song song với $EA$. Vậy phần đường thẳng nằm trong ngũ giác là đoạn từ $D(-4;0)$ đến $(0;4)$, tức $m\in [-4;0]$. Các giá trị nguyên: $m\in \{-4;-3;-2;-1;0\}$, gồm 5 giá trị.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng chứa $M$ là $y=x+4$. Xét giao với các cạnh ngũ giác: với $BC$ ($y=4$, $x\in [-2;2]$) ta được $x=0$, điểm $(0;4)$ thuộc cạnh; với $CD$ ($y=2x+8$) ta được $x=-4$, $y=0$ tức điểm $D(-4;0)$; với $DE$ ($y=-\frac{3}{2}x-6$) cũng cho $x=-4$, $y=0$; với $AB$ ($x+y=6$) giao tại $(1;5)$ không thuộc đoạn $AB$; với $EA$ ($y=x-6$) không giao. Vậy đoạn của đường thẳng nằm trong (trên) ngũ giác là đoạn từ $(0;4)$ đến $D(-4;0)$, tức $m\in [-4;0]$. Các giá trị nguyên: $m\in \{-4;-3;-2;-1;0\}$, gồm 5 giá trị. Đáp án D, khớp với mã đề 101.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:2x-y+1=0$ có dạng $ax+by+c=0$ với $a=2$, $b=-1$. Vậy một véc tơ pháp tuyến của $d$ là $\vec{n}=(a;b)=(2;-1)$. Kiểm tra đáp án: C là $(2;-1)$, khớp với kết quả. Đáp án C cũng trùng với đáp án của đề 1106 trong bảng đáp án nguồn (câu 3: C).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:2x-y+1=0$ có dạng $ax+by+c=0$ với $a=2$, $b=-1$. Do đó một véc tơ pháp tuyến của $d$ là $\vec{n}=(a;b)=(2;-1)$. Vậy đáp án đúng là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1105, câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $(\Delta ):3x-y+5=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(3;-1)$. Hai đường thẳng song song khi vectơ pháp tuyến cùng phương và hai đường thẳng không trùng nhau. Xét đáp án B: $6x-2y-1=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(6;-2)=2(3;-1)$, cùng phương với $\overrightarrow{n_1}$. Chia phương trình B cho 2 được $3x-y-\frac{1}{2}=0$, khác $3x-y+5=0$ (hệ số tự do khác nhau), nên hai đường thẳng song song. Các đáp án A, C, D có vectơ pháp tuyến lần lượt $(3;1)$, $(1;-3)$, $(1;3)$, đều không cùng phương với $(3;-1)$ nên không song song. Vậy đáp án đúng là B.

Do $C$ là giao điểm của $BC$ và $CD$ nên tọa độ $(x_C;y_C)$ của điểm $C$ là nghiệm của hệ phương trình:
$$\{\begin{array}{l}x+3y-6=0\\ 2x-5y-1=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x+3y=6\\ 2x-5y=1\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=3\\ y=1\end{array}$$
Vậy $C(3;1)$. Do tứ giác $ABCD$ là hình bình hành với tâm $I(3;5)$ là trung điểm của $AC$ nên tọa độ $(x_A;y_A)$ của điểm $A$ thỏa mãn hệ phương trình sau:
$$\{\begin{array}{l}{x}_A+x_C=2x_I\\ y_A+y_C=2y_I\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}_A+3=6\\ y_A+1=10\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}_A=3\\ y_A=9\end{array}$$
Vậy $A(3;9)$.
Do tứ giác $ABCD$ là hình bình hành nên $AD\parallel BC$. Vậy đường thẳng $AD$ nhận vecto pháp tuyến $(2;-5)$ của $BC$ làm vecto pháp tuyến.
Đường thẳng $AD$ đi qua $A(3;9)$ và nhận vecto $(2;-5)$ làm vecto pháp tuyến nên đường thẳng $AD$ có phương trình tổng quát là:
$$2(x-3)-5(y-9)=0\iff 2x-5y+39=0$$
Chọn đáp án C

a) Tìm được C(0; -2 )

Gọi H(x;y) ta có $\overrightarrow{AH}=(x+1;y-5)$, $\overrightarrow{BC}=(-2;-5)$

Vì $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0$ nên 2x + 5y = 23 (1 )

Lại có : $\overrightarrow{BH}=(x-2;y-3)$

Vì $\overrightarrow{AH}$ cùng phương $\overrightarrow{BC}$ nên 5x – 2y = 4 (2)

Từ (1) và (2) ta được $\{\begin{array}{l}x=\frac{66}{29}\\ y=\frac{107}{29}\end{array}\to H\left(\frac{66}{29};\frac{107}{29}\right)$

b) Lấy $A^{\prime }$ đối xứng A qua Ox , suy ra $A^{\prime }(-1;-5)$

Ta có: $MA+MB=M{A}^{\prime }+MB\ge A^{\prime }B$

Đẳng thức xảy ra khi $M=A^{\prime }B\cap Ox$

Đường thẳng $A^{\prime }B$ có phương trình: 8x - 3y -7 = 0

Giải hệ $\{\begin{array}{l}8x-3y-7=0\\ y=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{7}{8}\\ y=0\end{array}\to M\left(\frac{7}{8};0\right)$

(AI giải đề cho tôi)
Đường cao từ B: 7x−y−9=0 nên AC vuông góc với đường cao, hệ số góc của AC là −1/7, qua C(6;1): x+7y−13=0. A là giao điểm với trung tuyến x−5y+11=0: giải hệ x+7y=13, x−5y=−11 ⇒ 12y=24 ⇒ y=2, x=−1 ⇒ A(−1;2), ý a đúng.
B nằm trên đường cao: B=(t;7t−9). Trung điểm BC=((t+6)/2;(7t−8)/2) thuộc trung tuyến: (t+6)/2 − 5(7t−8)/2 + 11 = 0 ⇒ t+6−35t+40+22=0 ⇒ −34t+68=0 ⇒ t=2, B(2;5), ý b đúng.
AB=3√2, BC=4√2, AC=5√2; AB²+BC²=18+32=50=AC² nên tam giác vuông tại B, S=12, r=(AB+BC−AC)/2=√2≈1,414<1,45, ý c sai.
Tam giác vuông tại B nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm AC: I(5/2;3/2), R=AC/2=5√2/2. OI=√((5/2)²+(3/2)²)=√34/2. Max OM=OI+R=(√34+5√2)/2, ý d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
AC: x+7y−13=0; giao với trung tuyến x−5y+11=0 cho A(−1;2).
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
B=(t;7t−9), trung điểm BC thuộc trung tuyến ⇒ t=2, B(2;5).
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Tam giác vuông tại B, r=√2≈1,414<1,45.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm AC: I(5/2;3/2), R=5√2/2, OI=√34/2, max OM=(√34+5√2)/2 ⇒ ý d đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ với $A(0;0)$, $B(70;0)$, $D(0;25)$, $C(55;25)$, $E(5;0)$ (đơn vị: mét). Chuồng vịt ở $D$ nhận được nhiều ánh sáng nhất khi cột đèn trên đoạn $EC$ ở vị trí gần $D$ nhất, tức là chân đường vuông góc hạ từ $D$ xuống đường thẳng $EC$.

Đường thẳng $EC$ đi qua $E(5;0)$ và $C(55;25)$ có hệ số góc $k=\frac{25-0}{55-5}=\frac{1}{2}$, phương trình: $y=\frac{x-5}{2}$ hay $x-2y-5=0$.

Gọi $H(x_0;y_0)$ là chân đường vuông góc từ $D$ xuống $EC$. Vecto pháp tuyến của $EC$ là $\vec{n}=(1;-2)$, nên $\overrightarrow{DH}=(t;-2t)$, suy ra $H(t;25-2t)$. Thay vào phương trình $EC$: $t-2(25-2t)-5=0\Rightarrow 5t=55\Rightarrow t=11$. Vậy $H(11;3)$.

Kiểm tra: $H$ nằm giữa $E$ và $C$ vì $5\le 11\le 55$ (thỏa mãn điều kiện đề bài). Khoảng cách từ cột đèn đến cạnh $AB$ (trục hoành) bằng tung độ của $H$, tức là $3m$. Khi đó khoảng cách đến chuồng vịt là $DH=\sqrt{11^2+22^2}=11\sqrt{5}m$ là ngắn nhất, nên chuồng vịt nhận được nhiều ánh sáng nhất.

Kết luận: Cột đèn phải cách cạnh $AB$ một khoảng $3m$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ với gốc tại góc trái dưới của mảnh đất, cạnh dài 100m nằm trên trục hoành, cạnh rộng 50m nằm trên trục tung. Trụ điện M cách cạnh rộng 6m và cách cạnh dài 3m nên $M(6;3)$. Đường thẳng hẻm đi qua $M$, cắt cạnh chiều dài tại $A(a;0)$ và cạnh chiều rộng tại $B(0;b)$ với $a>6$, $b>3$. Phương trình đường thẳng dạng chắn: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$. Vì $M\in AB$: $\frac{6}{a}+\frac{3}{b}=1$. Diện tích tam giác thu hồi là $S=\frac{ab}{2}$. Đặt $u=\frac{6}{a},v=\frac{3}{b}$ thì $u+v=1$ và $ab=\frac{36}{uv}$. Theo AM-GM: $uv\le {\left(\frac{u+v}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$, nên $ab\ge 144$, tức $S\ge 72$. Dấu bằng khi $u=v=\frac{1}{2}$, tức $a=12$, $b=6$ (thỏa $a>6$, $b>3$). Vậy diện tích thu hồi nhỏ nhất là $72m^2$, diện tích giữ lại nhiều nhất là $100\cdot 50-72=4928m^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì các mặt kệ song song với mặt đất, các đoạn thẳng trên hai thanh $d_1$ (chứa $A,B,C,D$) và $d_2$ (chứa $E,F,G,H$) bị cắt bởi các đường thẳng song song nên theo định lí Thales ta có tỉ lệ tương ứng: $\frac{AB}{AD}=\frac{EF}{EH}$. Thay $\frac{AB}{AD}=\frac{2}{5}$ và $EF=35$ cm: $\frac{2}{5}=\frac{35}{EH}\Rightarrow EH=\frac{35\cdot 5}{2}=87,5$ cm. Vậy $HE=87,5$ cm, khớp với đáp án nguồn (Câu 17, mã đề 1111: 87,5).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ có phương trình tham số $x=2+3t,y=1-t$, nên vecto chỉ phương là $\vec{u}=(3;-1)$ (tương ứng hệ số của $t$). Đáp án C khớp với bảng đáp án mã đề 0112 (câu 8: C).