Một cái hồ rộng có hình chữ nhật, tại một góc hồ người ta đóng một cái cọc ở vị trí $K$ cách bờ $AB$ là $2m$ và cách bờ $AD$ là $6m$, rồi dựng một cây sào thẳng $PQ$ ngăn một góc của hồ để nuôi vịt (như hình vẽ). Tính chiều dài ngắn nhất của cây sào để cây sào có thể chạm vào hai bờ $AB,AD$ và cây cọc $K$. (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục của mét).

[Hình cần kiểm tra lại: p4_f1]

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục toạ độ gốc $A$, bờ $AD$ là trục $Ox$, bờ $AB$ là trục $Oy$. Khi đó cọc $K$ có toạ độ $K(6;2)$ (cách $AD$ là $6m$, cách $AB$ là $2m$). Cây sào $PQ$ là đoạn thẳng cắt hai trục tại $P(0;b)$ trên $AB$ và $Q(a;0)$ trên $AD$, đi qua $K$, nên phương trình đường thẳng $PQ$ là $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ với $a>6,b>2$. Điều kiện qua $K$: $\frac{6}{a}+\frac{2}{b}=1$. Chiều dài cây sào $L=\sqrt{a^2+b^2}$. Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: ${\left(\frac{6}{a}+\frac{2}{b}\right)}^2\le {\left(\frac{6^{2/3}}{a^{2/3}}\cdot \frac{a^{2/3}}{L^{2/3}}+\frac{2^{2/3}}{b^{2/3}}\cdot \frac{b^{2/3}}{L^{2/3}}\right)}^2$... cách chuẩn: đặt $u=\frac{6}{a},v=\frac{2}{b},u+v=1$, khi đó $a=\frac{6}{u},b=\frac{2}{v}$, $L^2=\frac{36}{u^2}+\frac{4}{v^2}$. Xét hàm $f(u)=\frac{36}{u^2}+\frac{4}{(1-u{)}^2}$ trên $(0;1)$, đạo hàm $f^{\prime }(u)=-\frac{72}{u^3}+\frac{8}{(1-u{)}^3}=0\Rightarrow \frac{(1-u{)}^3}{u^3}=\frac{8}{72}=\frac{1}{9}\Rightarrow \frac{1-u}{u}=\frac{1}{\sqrt[3]{9}}\Rightarrow u=\frac{\sqrt[3]{9}}{1+\sqrt[3]{9}}$. Khi đó $L_{\min }=(6^{2/3}+2^{2/3}{)}^{3/2}$. Tính: $6^{2/3}\approx 3,3019$, $2^{2/3}\approx 1,5874$, tổng $\approx 4,8893$, lũy thừa $3/2$: $4,8893\cdot \sqrt{4,8893}\approx 4,8893\cdot 2,2112\approx 10,81$. Vậy chiều dài ngắn nhất của cây sào khoảng $10,8m$, khớp với đáp án nguồn $10,8$.