Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

Gọi $d$ là đường thẳng qua $B$ và song song với $AC$.

Ta có $\{\begin{array}{l}B(0;3)\in d\\ {\vec{u}}_d=\overrightarrow{AC}=(5;-1)=-1.(-5;1)\end{array}\Rightarrow d:\{\begin{array}{l}x=-5t\\ y=3+t\end{array}(t\in \mathbb{R})$

(AI giải đề cho tôi)
Vì các mặt kệ song song với mặt đất, các đoạn thẳng trên hai thanh $d_1$ (chứa $A,B,C,D$) và $d_2$ (chứa $E,F,G,H$) bị cắt bởi các đường thẳng song song nên theo định lí Thales ta có tỉ lệ tương ứng: $\frac{AB}{AD}=\frac{EF}{EH}$. Thay $\frac{AB}{AD}=\frac{2}{5}$ và $EF=35$ cm: $\frac{2}{5}=\frac{35}{EH}\Rightarrow EH=\frac{35\cdot 5}{2}=87,5$ cm. Vậy $HE=87,5$ cm, khớp với đáp án nguồn (Câu 17, mã đề 1111: 87,5).

(AI giải đề cho tôi)
Δ có hệ số tỉ lệ (1;1;−2). Δ_m song song với Δ khi m²−5m+8 = m và −m−2 ≠ −2m. Giải m²−6m+8=0 được m=2 hoặc m=4. Với m=2: Δ_m: 2x+2y−4=0 trùng với Δ (bị loại). Với m=4: Δ_m: 4x+4y−6=0, tỉ số hằng số −6/−2=3≠4 nên song song. Vậy có đúng 1 giá trị m=4.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng ${\Delta }_1:3x+2y-5=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(3;2)$ và ${\Delta }_2:2x-3y+1=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(2;-3)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=3\cdot 2+2\cdot (-3)=6-6=0$. Vậy $\overrightarrow{n_1}\perp \overrightarrow{n_2}$, suy ra ${\Delta }_1$ vuông góc với ${\Delta }_2$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng có hệ số góc $k_1=\sqrt{3}$ (góc $60^{\circ }$) và $k_2=1$ (góc $45^{\circ }$). Số đo góc giữa hai đường thẳng: $\tan \alpha =\left|\frac{k_1-k_2}{1+k_1{k}_2}\right|=\frac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3}=\tan 15^{\circ }$, nên $\alpha =15^{\circ }$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $BC$ đi qua $B(-4;3)$ và $C(12;-9)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{BC}=(16;-12)$, phương trình: $3x+4y=0$ (thỏa mãn cả $B$ và $C$). Độ dài chiều cao $AH$ là khoảng cách từ $A(10;-10)$ đến $BC$: $AH=\frac{|3\cdot 10+4\cdot (-10)|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|30-40|}{5}=\frac{10}{5}=2$. Vậy đáp án $B$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 30.
a) Đường thẳng $d:x+y-7=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;1)$. Đường thẳng $d^{\prime }$ đi qua $A(-3;2)$ và song song với $d$ nên cũng có pháp tuyến $\vec{n}=(1;1)$, phương trình dạng $x+y+c=0$. Thay tọa độ $A$: $-3+2+c=0\Rightarrow c=1$. Vậy $d^{\prime }:x+y+1=0$.
b) Điểm $M(x;y)$ nằm trên $d$ nên $x+y=7$, tức $y=7-x$. Điều kiện $OM=5$ cho $x^2+y^2=25$. Thay vào: $x^2+(7-x{)}^2=25\iff 2x^2-14x+24=0\iff x^2-7x+12=0\iff x=3$ hoặc $x=4$. Với $x=3$ thì $y=4$; với $x=4$ thì $y=3$. Vậy có hai điểm thỏa mãn: $M_1(3;4)$ và $M_2(4;3)$. Kiểm tra: $3+4=7$, $\sqrt{9+16}=5$ — thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm của $AB$ là $I(2;3)$. Vectơ $\overrightarrow{AB}=(2;4)$ là pháp tuyến của đường trung trực. Phương trình: $2(x-2)+4(y-3)=0\iff x+2y-8=0$. Kiểm tra: $I(2;3)$: $2+6-8=0$ đúng; $A(1;1)$ và $B(3;5)$ cho giá trị $-5$ và $5$ (đối nhau) nên đúng. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: $d(M,\Delta )=\frac{|3\cdot 1+4\cdot 1-27|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|-20|}{5}=4$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hai tàu gặp nhau khi tọa độ bằng nhau: $-4+30t=6+25t\Rightarrow 5t=10\Rightarrow t=2$. Kiểm tra tung độ: $y_A=-5+40\cdot 2=75$, $y_B=5+35\cdot 2=75$, khớp. Vậy hai tàu gặp nhau sau $2$ giờ.

(AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ $A(1;2)$ vào phương trình đường thẳng $\Delta :3x-4y+5=0$ ta được $3(1)-4(2)+5=3-8+5=0$. Vậy điểm $A$ nằm ngay trên đường thẳng $\Delta$, do đó hình chiếu của $A$ trên $\Delta$ chính là điểm $A$. Kết luận: $M(1;2)$. Kiểm tra lại: khoảng cách từ $A$ đến $\Delta$ là $d(A,\Delta )=\frac{|3\cdot 1-4\cdot 2+5|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{0}{5}=0$, xác nhận $A\in \Delta$ và $M=A$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta :3x-2y+1=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{\Delta }}=(3;-2)$, do đó vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\overrightarrow{u_{\Delta }}=(2;3)$. Vì $d$ vuông góc với $\Delta$ nên $\overrightarrow{u_{\Delta }}$ là vectơ pháp tuyến của $d$: $\overrightarrow{n_d}=(2;3)$. Phương trình $d$: $2x+3y+c=0$. Thay $A(1;-2)$: $2(1)+3(-2)+c=0\Rightarrow 2-6+c=0\Rightarrow c=4$. Vậy $d:2x+3y+4=0$. Kiểm tra: $A(1;-2)$ thỏa mãn $2-6+4=0$; tích vô hướng pháp tuyến $(2)(3)+(3)(-2)=0$ nên $d\perp \Delta$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d_1:a_{1}x+b_{1}y+c_1=0$ và $d_2:a_{2}x+b_{2}y+c_2=0$ có các vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}=(a_1;b_1)$ và $\overrightarrow{n_2}=(a_2;b_2)$. Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai vectơ pháp tuyến (hoặc bù của nó), nên $\cos (d_1;d_2)=\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|a_1{a}_2+b_1{b}_2|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}\sqrt{a_2^2+b_2^2}}$. Đây chính là đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto $\overrightarrow{BC}=(5-2;0-4)=(3;-4)$, nên đường thẳng $(d)$ song song với $BC$ có vecto pháp tuyến $\vec{n}=(4;3)$. Đường thẳng qua $A(1;1)$: $4(x-1)+3(y-1)=0\iff 4x+3y-7=0$. Kiểm tra: $A(1;1)$: $4+3-7=0$ đúng. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng ${\Delta }_1:3x+4y+1=0$ có vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_1=(3;4)$. Đường thẳng ${\Delta }_2$ có vectơ chỉ phương ${\vec{u}}_2=(12;5)$. Cosin góc giữa hai đường thẳng: $\cos \theta =\frac{|{\vec{n}}_1\cdot {\vec{u}}_2|}{|{\vec{n}}_1||{\vec{u}}_2|}=\frac{|3\cdot 12+4\cdot 5|}{\sqrt{3^2+4^2}\sqrt{12^2+5^2}}=\frac{56}{5\cdot 13}=\frac{56}{65}$. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách ngắn nhất từ người trên ô tô (nằm trên đường thẳng $d$) đến trạm viễn thông $M(1;2)$ chính là khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $d:8x-6y-6=0$.

Áp dụng công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng:
$$d(M,d)=\frac{|8\cdot 1-6\cdot 2-6|}{\sqrt{8^2+(-6{)}^2}}=\frac{|8-12-6|}{\sqrt{100}}=\frac{10}{10}=1.$$

Vậy khoảng cách ngắn nhất là $1$ km.

(AI giải đề cho tôi)
A thuộc Δ: x + 2y − 4 = 0 và có hoành độ x = 2, thay vào: 2 + 2y − 4 = 0 ⟹ y = 1. Vậy A(2; 1). Đường thẳng Δ có vectơ pháp tuyến n_Δ = (1; 2). Vì d vuông góc với Δ nên d nhận n_Δ làm vectơ chỉ phương, tức vectơ pháp tuyến của d là n_d = (2; −1). Phương trình d qua A(2; 1): 2(x − 2) − 1(y − 1) = 0 ⟺ 2x − y − 3 = 0. Kiểm tra: A(2;1) thỏa 2·2 − 1 − 3 = 0; tích vô hướng n_d · n_Δ = 2·1 + (−1)·2 = 0 nên d ⊥ Δ. Vậy d: 2x − y − 3 = 0.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ song song với $d^{\prime }:x+y-10=0$ nên có dạng $x+y+c=0$. Vì $d$ qua $M(0;1)$ nên $0+1+c=0\Rightarrow c=-1$. Vậy $d:x+y-1=0$. Kiểm tra: $M(0;1)$ thỏa mãn $0+1-1=0$, và hệ số $a,b$ của $d$ và $d^{\prime }$ lần lượt bằng nhau nên hai đường thẳng song song. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d_1:4x-3y-1=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(4;-3)$ và $d_2:3x+4y-10=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(3;4)$. Tích vô hướng $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=4\cdot 3+(-3)\cdot 4=12-12=0$, nên $\overrightarrow{n_1}\perp \overrightarrow{n_2}$, suy ra $d_1$ vuông góc với $d_2$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta :x-2y+1=0$ có hệ số tỉ lệ $(a;b;c)=(1;-2;1)$. Hai đường thẳng song song khi vectơ chỉ phương cùng phương nhưng không trùng nhau. Xét các phương án:

A: $x+2y+1=0$ có $(1;2;1)$, không cùng phương với $(1;-2;1)$ vì $1\cdot 2-(-2)\cdot 1=4\ne 0$.

B: $2x-4y+2=0$ có $(2;-4;2)=2\cdot (1;-2;1)$, trùng hệ số tỉ lệ nên trùng với $\Delta$, không song song.

C: $-x+2y+1=0$ có $(-1;2;1)=-1\cdot (1;-2;-1)$, vectơ chỉ phương $(-1;2)$ cùng phương với $(1;-2)$ nhưng $c=1\ne -1$ (không tỉ lệ toàn phần), nên song song với $\Delta$.

D: $2x-y+1=0$ có $(2;-1;1)$, không cùng phương.

Vậy đáp án là C.