Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục toạ độ gốc $A$, bờ $AD$ là trục $Ox$, bờ $AB$ là trục $Oy$. Khi đó cọc $K$ có toạ độ $K(6;2)$ (cách $AD$ là $6m$, cách $AB$ là $2m$). Cây sào $PQ$ là đoạn thẳng cắt hai trục tại $P(0;b)$ trên $AB$ và $Q(a;0)$ trên $AD$, đi qua $K$, nên phương trình đường thẳng $PQ$ là $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ với $a>6,b>2$. Điều kiện qua $K$: $\frac{6}{a}+\frac{2}{b}=1$. Chiều dài cây sào $L=\sqrt{a^2+b^2}$. Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: ${\left(\frac{6}{a}+\frac{2}{b}\right)}^2\le {\left(\frac{6^{2/3}}{a^{2/3}}\cdot \frac{a^{2/3}}{L^{2/3}}+\frac{2^{2/3}}{b^{2/3}}\cdot \frac{b^{2/3}}{L^{2/3}}\right)}^2$... cách chuẩn: đặt $u=\frac{6}{a},v=\frac{2}{b},u+v=1$, khi đó $a=\frac{6}{u},b=\frac{2}{v}$, $L^2=\frac{36}{u^2}+\frac{4}{v^2}$. Xét hàm $f(u)=\frac{36}{u^2}+\frac{4}{(1-u{)}^2}$ trên $(0;1)$, đạo hàm $f^{\prime }(u)=-\frac{72}{u^3}+\frac{8}{(1-u{)}^3}=0\Rightarrow \frac{(1-u{)}^3}{u^3}=\frac{8}{72}=\frac{1}{9}\Rightarrow \frac{1-u}{u}=\frac{1}{\sqrt[3]{9}}\Rightarrow u=\frac{\sqrt[3]{9}}{1+\sqrt[3]{9}}$. Khi đó $L_{\min }=(6^{2/3}+2^{2/3}{)}^{3/2}$. Tính: $6^{2/3}\approx 3,3019$, $2^{2/3}\approx 1,5874$, tổng $\approx 4,8893$, lũy thừa $3/2$: $4,8893\cdot \sqrt{4,8893}\approx 4,8893\cdot 2,2112\approx 10,81$. Vậy chiều dài ngắn nhất của cây sào khoảng $10,8m$, khớp với đáp án nguồn $10,8$.

a) Tọa độ của $B$ là nghiệm của hệ:
$$\{\begin{array}{l}y=0\\ 4x-3y-12=0\end{array}\Rightarrow 4x-12=0\Rightarrow x=3.\text{ Suy ra }B(3;0).$$

Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, suy ra $AC\perp AB$. Vì $AB\equiv Ox$ nên $AC\parallel Oy$. Điều này dẫn đến đỉnh $C$ có cùng hoành độ với đỉnh $A$. Gọi $A(a;0)$ thì $C(a;y_C)$. Vì $C$ thuộc đường thẳng $BC:4x-3y-12=0$, ta có:

$$4a-3y_C-12=0\Rightarrow y_C=\frac{4a-12}{3}=\frac{4}{3}(a-3).$$

Vậy $A(a;0)$ và $C\left(a;\frac{4}{3}(a-3)\right)$.

$AB=|x_B-x_A|=|3-a|=|a-3|.$

$AC=|y_C-y_A|=\left|\frac{4}{3}(a-3)-0\right|=\frac{4}{3}|a-3|.$

$S_{\Delta ABG}=8\Rightarrow S_{\Delta ABC}=3S_{\Delta ABG}=24$

$\iff \frac{1}{2}AB.AC=24\iff \frac{1}{2}|a-3|\cdot \frac{4}{3}|a-3|=24\iff |a-3|=6\iff \{\begin{array}{l}a=9\\ a=-3\end{array}$

Với $a=9\Rightarrow A(9;0)$, $B(3;0),C(9;8)$

Với $a=-3\Rightarrow A(-3;0)$, $B(3;0),C(-3;-8)$

b) Xét tam giác ABM có AH vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên tam giác ABM cân tại $A$. Suy ra $AB=AM$, $AM=\frac{AC}{2}=\frac{b}{2}\Rightarrow c=\frac{b}{2}\Rightarrow b=2c$.

Sử dụng công thức đường trung tuyến trong tam giác ABC:

$B{M}^2=\frac{2(a^2+c^2)-b^2}{4}$. Thay $b=2c$ vào ta được:

$B{M}^2=\frac{2a^2+2c^2-4c^2}{4}=\frac{2a^2-2c^2}{4}=\frac{a^2-c^2}{2}$

Trong tam giác vuông AHM: $A{H}^2=A{M}^2-H{M}^2$

Vì $\Delta ABM$ cân tại $A$ nên $H$ là trung điểm BM, do đó $HM=\frac{BM}{2}\Rightarrow H{M}^2=\frac{B{M}^2}{4}$.

$A{H}^2={\left(\frac{b}{2}\right)}^2-\frac{1}{4}\left(\frac{a^2-c^2}{2}\right)=\frac{b^2}{4}-\frac{a^2-c^2}{8}$

Thay $b=2c\Rightarrow b^2=4c^2$:

$A{H}^2=\frac{4c^2}{4}-\frac{a^2-c^2}{8}=\frac{8c^2-a^2+c^2}{8}=\frac{9c^2-a^2}{8}$



Gọi $N$ là trung điểm $DC$

Ta có $AD=2MN$, $MN=2HD\Rightarrow AD=4HD\Rightarrow AD=\frac{4}{3}AH\Rightarrow A{D}^2=\frac{16}{9}A{H}^2$.

Theo giả thiết ta có

$2BM=\sqrt{3}AD\iff 4B{M}^2=3A{D}^2\iff 4\frac{a^2-c^2}{2}=3\cdot \frac{16}{9}\cdot \frac{9c^2-a^2}{8}\iff a^2=3c^2$

Theo định lý cosin:

$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{4c^2+c^2-3c^2}{2.2c.c}=\frac{1}{2}\Rightarrow \sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \tan A=\sqrt{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm $G$ là giao điểm của hai đường trung tuyến $BM:x+7y-10=0$ và $CN:x-2y+2=0$. Giải hệ: $x+7y=10$, $x-2y=-2$, trừ hai phương trình được $9y=12\Rightarrow y=\frac{4}{3}$, $x=10-7\cdot \frac{4}{3}=\frac{2}{3}$. Vậy $G\left(\frac{2}{3};\frac{4}{3}\right)$. Trung tuyến từ $A$ đi qua $A(1;3)$ và $G$ có hệ số góc $\frac{\frac{4}{3}-3}{\frac{2}{3}-1}=5$, phương trình $y=5x-2$. Trung điểm của $BC$ thuộc đường thẳng này. Thử đáp án A: $BC:x-5y+2=0$. Giao với $BM$: $x=10-7y$, thay vào: $10-7y-5y+2=0\Rightarrow y=1$, $x=3$, tức $B(3;1)$. Giao với $CN$: $x=2y-2$, thay vào: $2y-2-5y+2=0\Rightarrow y=0$, $x=-2$, tức $C(-2;0)$. Trung điểm $BC$ là $\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$, thỏa $y=5x-2$ vì $5\cdot \frac{1}{2}-2=\frac{1}{2}$. Trọng tâm $\frac{A+B+C}{3}=\left(\frac{2}{3};\frac{4}{3}\right)=G$ khớp. Vậy phương trình đường thẳng chứa cạnh $BC$ là $x-5y+2=0$, trùng với đáp án A theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1103, Câu 14).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $d_2$ là phân giác trong góc $B$ nên $B\in d_2$; vì $d_1$ là đường cao kẻ từ $A$ nên $A\in d_1$ và $BC\perp d_1$. Gọi $B=(t;t-1)$ (trên $d_2$). Đường thẳng $BC$ đi qua $B$ và vuông góc $d_1$ có vecto chỉ phương $(1;-2)$, nên $C=(t+s;t-1-2s)$, suy ra $2a+b=2(t+s)+(t-1-2s)=3t-1$. Gọi $A=(2u+2;u)$ (trên $d_1$). Phản xạ của $A$ qua $d_2:x-y-1=0$ là $A^{\prime }=(u+1;2u+1)$; vì $d_2$ là phân giác trong tại $B$ nên $A^{\prime }$ thuộc đường thẳng $BC$. Điều kiện $A^{\prime },B$ thẳng hàng theo phương $(1;-2)$: $-2(u+1-t)=2u+2-t\Rightarrow 3t=4u+4\Rightarrow u=\frac{3t-4}{4}$. Điều kiện $A,M(0;2),B$ thẳng hàng: $(2u+2)(t-3)=t(u-2)\Rightarrow u(t-6)=6-4t$. Thay $u=\frac{3t-4}{4}$: $(3t-4)(t-6)=24-16t\Rightarrow 3t^2-6t=0\Rightarrow t=0$ hoặc $t=2$. Với $t=0$ thì $u=-1$, khi đó $A=(0;-1)=B$ (suy biến, loại). Vậy $t=2$, khi đó $2a+b=3(2)-1=5$ (không phụ thuộc dấu $s$; với $t=2$, $u=\frac{1}{2}$, $A=(3;\frac{1}{2})$, $A{B}^2=\frac{5}{4}$, $AB=2BC\Rightarrow B{C}^2=\frac{5}{16}\Rightarrow s=\pm \frac{1}{4}$, cho $C=(\frac{9}{4};-\frac{1}{2})$ hoặc $C=(\frac{7}{4};\frac{3}{2})$, đều thỏa mãn và $2a+b=5$).

(AI giải đề cho tôi)
Đường cao từ $A$ là $d_1:x-2y-2=0$ nên $BC\perp d_1$, suy ra $BC$ có hệ số góc $-2$. Phân giác trong góc $B$ là $d_2:x-y-1=0$, nên $B$ nằm trên $d_2$ và đường thẳng $AB$ là ảnh của đường thẳng $BC$ qua phép đối xứng trục $d_2$.

Gọi $B(t;t-1)$ trên $d_2$. Đường thẳng $BC$ qua $B$ có hệ số góc $-2$: $2x+y-3t+1=0$. Lấy điểm $(t+1;t-3)$ trên $BC$, đối xứng qua $d_2$ (phép đối xứng $(x;y)\mapsto (y+1;x-1)$) ta được $(t-2;t)$. Đường thẳng $AB$ qua $B(t;t-1)$ và $(t-2;t)$ có phương trình: $x+2y-3t+2=0$.

Vì $M(0;2)\in AB$: $0+4-3t+2=0\Rightarrow t=2$. Vậy $B(2;1)$, $AB:x+2y-4=0$, $BC:2x+y-5=0$.

$A$ là giao của $AB$ và $d_1$: thay $x=2y+2$ vào $x+2y-4=0$ được $y=\frac{1}{2}$, $x=3$, tức $A(3;\frac{1}{2})$.

$AB=\sqrt{(3-2{)}^2+(\frac{1}{2}-1{)}^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}$. Vì $AB=2BC$ nên $BC=\frac{\sqrt{5}}{4}$.

Trên $BC$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(1;-2)$ với $|\vec{u}|=\sqrt{5}$, nên $C=B\pm \frac{1}{4}(1;-2)$, tức $C(\frac{9}{4};\frac{1}{2})$ hoặc $C(\frac{7}{4};\frac{3}{2})$.

Kiểm tra điều kiện $d_2$ là phân giác **trong**: tại $B$, với $C(\frac{7}{4};\frac{3}{2})$, các vectơ $\overrightarrow{BA}=(1;-\frac{1}{2})$, $\overrightarrow{BC}=(-\frac{1}{4};\frac{1}{2})$; tổng hai vectơ đơn vị cùng hướng $\frac{\overrightarrow{BA}}{|\overrightarrow{BA}|}+\frac{\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BC}|}=\frac{(1;1)}{\sqrt{5}}$ cùng hướng với $d_2$ (vectơ $(1;1)$), nên $d_2$ là phân giác trong. Trường hợp $C(\frac{9}{4};\frac{1}{2})$ cho tổng $\frac{(3;-3)}{\sqrt{5}}$, tức $d_2$ là phân giác ngoài (loại).

Vậy $C(\frac{7}{4};\frac{3}{2})$, tức $a=\frac{7}{4}$, $b=\frac{3}{2}$, khi đó $2a+b=\frac{7}{2}+\frac{3}{2}=5$. Kết quả khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $d_1:x-2y-2=0$ là đường cao kẻ từ $A$ nên $BC\perp d_1$, do đó đường thẳng $BC$ có vecto chỉ phương là vecto pháp tuyến của $d_1$: $\vec{v}=(1;-2)$.

Vì $d_2:x-y-1=0$ là phân giác trong của góc $B$ nên tia $BC$ là tia đối xứng của tia $BA$ qua $d_2$. Gọi $B=(t;t-1)$ (thuộc $d_2$). Đường thẳng $AB$ đi qua $M(0;2)$ và $B$ nên có vecto chỉ phương $\vec{u}=(t;t-3)$; tia $BA$ có phương $(-t;3-t)$. Đường $d_2$ có vecto chỉ phương $(1;1)$, phản xạ của vecto $(x;y)$ qua phương $(1;1)$ là $(y;x)$, nên tia đối xứng của tia $BA$ qua $d_2$ có phương $(3-t;-t)$. Để tia này trùng phương $(1;-2)$ của $BC$: $(3-t;-t)=\lambda (1;-2)\Rightarrow -t=-2\lambda ,3-t=\lambda \Rightarrow t=2$. Vậy $B=(2;1)$.

Điểm $A$ nằm trên đường thẳng $MB$: $A=M+s\vec{u}=(st;2+s(t-3))$. Vì $A\in d_1$: $st-2[2+s(t-3)]-2=0\iff s(6-t)=6\Rightarrow s=\frac{6}{6-t}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$. Suy ra $A=\left(3;\frac{1}{2}\right)$ (kiểm tra: $3-1-2=0$ đúng) và $\overrightarrow{AB}=(2;-1)$, vuông góc với $\overrightarrow{BC}=(1;-2)$ (thỏa điều kiện đường cao).

Ta có $MB=\sqrt{2^2+(-1{)}^2}=\sqrt{5}$, nên $AB=|s|\cdot MB=\frac{3\sqrt{5}}{2}$. Vì $AB=2BC$ nên $BC=\frac{3\sqrt{5}}{4}$. Đường thẳng $BC$ đi qua $B(2;1)$ với vecto chỉ phương $(1;-2)$: $C=B+k(1;-2)=(2+k;1-2k)$, $BC=|k|\sqrt{5}=\frac{3\sqrt{5}}{4}\Rightarrow |k|=\frac{3}{4}$.

Kiểm tra tính phân giác trong: với $\overrightarrow{BA}\propto (2;-1)$ và $\overrightarrow{BC}=(1;-2)$, tổng hai vecto đơn vị $\frac{(2;-1)}{\sqrt{5}}+\frac{(1;-2)}{\sqrt{5}}=\frac{(3;-3)}{\sqrt{5}}\propto (1;-1)$, đúng là phương của $d_2$ (phân giác trong), nên cấu hình thỏa mãn.

Với $k=\frac{3}{4}$: $C=\left(\frac{11}{4};-\frac{1}{2}\right)\Rightarrow 2a+b=\frac{11}{2}-\frac{1}{2}=5$; với $k=-\frac{3}{4}$: $C=\left(\frac{5}{4};\frac{5}{2}\right)\Rightarrow 2a+b=\frac{5}{2}+\frac{5}{2}=5$. Cả hai trường hợp đều cho $2a+b=5$.

Vậy $2a+b=5$, khớp đáp án nguồn (bảng đáp án mã đề 1101, Câu 4: 5).

Ta chứng minh $EM\perp BD$.

[Hình cần kiểm tra lại: p8_f1]

Thật vậy, vì $\frac{AB}{AC}=\frac{AE}{AB}=\frac{1}{2}$ do đó ta có $\Delta ABE\sim \Delta ACB$.

Vậy $BC=2BE$ mà $BC=2BM$ do đó $\Delta EBM$ cân tại $B$.

Mặt khác, $IE=\frac{1}{2}IA=\frac{1}{2}AB,IM=\frac{1}{2}AB$ (đường trung bình $\Delta ABC$).

Vậy $IB$ là đường trung trực của $EM$. Do vậy $EM\perp BD$.

Phương trình đường thẳng $EM$ qua $E$ và vuông góc với $BD$ là $(EM):y=7$.

Tọa độ của $M$ là nghiệm của hệ $\{\begin{array}{l}2x+y-18=0\\ (EM):y=7\end{array}\Rightarrow M\left(\frac{11}{2};7\right)$.

Như vậy ta có $ME=3$.

Mặt khác
$$S_{BEDC}=2S_{\Delta BEC}=4S_{\Delta BEM}\Rightarrow d_{\left(B;(EM)\right)}\times ME=18\Rightarrow d_{\left(B;(EM)\right)}=6.$$

Gọi tọa độ tham số điểm $B(4;b)$ ta có $d_{\left(B;(EM)\right)}=\frac{\left|b-7\right|}{1}=6\Rightarrow b=13\vee b=1$.

Vì $B$ có tung độ bé hơn 2 nên ta chọn $B(4;1)$.

Chú ý: Học sinh làm theo cách khác nhưng đúng vẫn cho điểm tối đa.

(AI giải đề cho tôi)
**a) Phương trình đường thẳng EF.** EF đi qua E(3;−3) và F(5;−9), vectơ chỉ phương $\overrightarrow{EF}=(2;-6)$, có vectơ pháp tuyến $(3;1)$. Vậy $EF:3(x-3)+(y+3)=0\iff 3x+y-6=0$.

**b) Chứng minh AC ⊥ EF.** Vì hình thang vuông tại A và D nên AB ∥ CD. Tam giác EAB đồng dạng ECD (góc đồng vị) với tỉ số $\frac{AB}{CD}=\frac{1}{3}$, suy ra $\frac{AE}{EC}=\frac{BE}{ED}=\frac{1}{3}$, tức $E=A+\frac{1}{4}(C-A)=B+\frac{1}{4}(D-B)$.
Gọi $\vec{u}$ là vectơ đơn vị cùng hướng AB, $\vec{v}$ là vectơ đơn vị cùng hướng AD, khi đó $\vec{u}\perp \vec{v}$, $\vec{u}\cdot \vec{v}=0$, $|\vec{u}|=|\vec{v}|=1$. Đặt AB = AD = t (t>0), CD = 3t:
- $\overrightarrow{AC}=3t\vec{u}+t\vec{v}$;
- Vì AF = 5FB nên $F=A+\frac{5}{6}t\vec{u}$, do đó $\overrightarrow{FE}=E-F=\frac{3t}{4}\vec{u}+\frac{t}{4}\vec{v}-\frac{5t}{6}\vec{u}=-\frac{t}{12}\vec{u}+\frac{t}{4}\vec{v}$.
Tích vô hướng: $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{FE}=t^2\left(3\cdot (-\frac{1}{12})|\vec{u}{|}^2+\frac{1}{4}|\vec{v}{|}^2\right)=t^2\left(-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)=0$ (các số hạng chứa $\vec{u}\cdot \vec{v}$ bằng 0). Vậy $AC\perp EF$.

**c) Tìm A, D.** Từ b), hệ $\{\vec{u},\vec{v}\}$ trực chuẩn. Viết $\vec{u}=(\cos \theta ;\sin \theta )$, $\vec{v}=(-\sin \theta ;\cos \theta )$. Vì AC ⊥ EF nên hệ số góc của AC bằng $\frac{1}{3}$ (EF có hệ số góc −3):
$$\frac{3\sin \theta +\cos \theta }{3\cos \theta -\sin \theta }=\frac{1}{3}\Rightarrow 9\sin \theta +3\cos \theta =3\cos \theta -\sin \theta \Rightarrow \sin \theta =0.$$
Vậy $\vec{u}=(1;0),\vec{v}=(0;1)$ (hoặc $\vec{u}=(-1;0),\vec{v}=(0;-1)$).

Với $\vec{u}=(1;0),\vec{v}=(0;1)$: $A=(a;b)$, $F=(a+\frac{5t}{6};b)=(5;-9)\Rightarrow b=-9$; $E=(a+\frac{3t}{4};b+\frac{t}{4})=(3;-3)\Rightarrow -9+\frac{t}{4}=-3\Rightarrow t=24$, suy ra $a=3-\frac{3\cdot 24}{4}=-15$. Kiểm tra: $a+\frac{5t}{6}=-15+20=5$ ✓. Vậy $A(-15;-9)$ (tung độ âm ✓), $D=A+t\vec{v}=(-15;15)$.

Trường hợp $\vec{u}=(-1;0),\vec{v}=(0;-1)$ cho $t=-24<0$, loại.

Kiểm tra lại: $B=(9;-9)$, $F(5;-9)$ thuộc AB với AF = 20 = 5·FB ✓; $C=(-15+72;15)=(57;15)$, CD = 72 = 3·AB ✓; $E=A+\frac{1}{4}(C-A)=(3;-3)$ ✓.

Kết luận: $A(-15;-9)$, $D(-15;15)$; đường thẳng EF: $3x+y-6=0$; và $AC\perp EF$ như đã chứng minh.

Đường cao $CH:x-y+1=0$ nên có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(1;-1)$.
Ta có $AB\perp CH:x-y+1=0\Rightarrow AB:x+y+c=0$,
Lại có $AB$ qua $A(1;-2)\Rightarrow c=1$. Vậy phương trình đường thẳng $AB:x+y+1=0$.

Kẻ $AI\perp BN:2x+y+5=0\Rightarrow AI:x-2y+m=0$, $AI$ qua $A(1;-2)\Rightarrow m=-5$.

Suy ra $AI:x-2y-5=0$.

Ta có $I=AI\cap BN\Rightarrow$ Tọa độ điểm $I$ là nghiệm của hệ $\{\begin{array}{l}x-2y-5=0\\ 2x+y+5=0\end{array}\Rightarrow I(-1;-3)$.

Phương trình đường thẳng $AB:x+y+1=0$.

Ta có $B=AB\cap BN$ nên tọa độ $B$ là nghiệm của hệ $\{\begin{array}{l}x+y+1=0\\ 2x+y+5=0\end{array}\Rightarrow B(-4;3)$.

Gọi $A^{\prime }$ là điểm đối xứng của $A$ qua $BN$ (ta có $I$ là trung điểm của $A{A}^{\prime }$ và $A^{\prime }\in BC$)

$I$ là trung điểm của $A{A}^{\prime }\Rightarrow A^{\prime }(-3;-4)$.

Đường $BC$ qua $B(-4;3)$ nhận $\overrightarrow{A^{\prime }B}=(-1;7)$ làm VTCP có dạng $\frac{x+4}{-1}=\frac{y-3}{7}\iff 7x+y+25=0$.

Ta có $C=BC\cap CH\Rightarrow$ Tọa độ điểm $C$ là nghiệm của hệ $\{\begin{array}{l}7x+y+25=0\\ x-y+1=0\end{array}\Rightarrow C\left(\frac{-13}{4};\frac{-9}{4}\right)$.

[Hình cần kiểm tra lại: p16_f1]

Ta có $S_{△ABC}=\frac{1}{2}.BC.d(A,BC)=\frac{1}{2}.\frac{15\sqrt{2}}{4}.\frac{\left|7.1-2+25\right|}{\sqrt{49+1}}=\frac{45}{4}$ (đvdt). Vậy $\frac{a}{b}=\frac{45}{4}\Rightarrow ab=180$

(AI giải đề cho tôi)
Đường cao $CH:x-y+1=0$ có hệ số góc $1$, nên $AB\perp CH$ có hệ số góc $-1$. Đường thẳng $AB$ qua $A(1;-2)$: $y=-x-1\iff x+y+1=0$.

$B$ là giao của $AB$ và phân giác $BN:2x+y+5=0$: thay $y=-x-1$ ta được $2x-x-1+5=0\Rightarrow x=-4$, $y=3$. Vậy $B(-4;3)$, $AB=\sqrt{25+25}=5\sqrt{2}$.

Phân giác trong $BN$ là trục đối xứng giữa tia $BA$ và tia $BC$, nên phản xạ của $A$ qua $BN$, gọi là $A^{\prime }$, nằm trên đường thẳng $BC$. Khoảng cách có dấu của $A$ tới $BN$: $\frac{2(1)+(-2)+5}{5}=1$. Chân đường vuông góc: $(1;-2)-1\cdot (2;1)=(-1;-3)$, nên $A^{\prime }=2(-1;-3)-(1;-2)=(-3;-4)$.

Đường thẳng $BC$ qua $B(-4;3)$ và $A^{\prime }(-3;-4)$: hệ số góc $\frac{-4-3}{-3+4}=-7$, phương trình $y=-7x-25$.

$C$ thuộc $CH$: $y=x+1$, giải $x+1=-7x-25\Rightarrow x=-\frac{13}{4}$, $C\left(-\frac{13}{4};-\frac{9}{4}\right)$.

Chiều cao từ $C$ xuống $AB$: $d(C,AB)=\frac{\left|-\frac{13}{4}-\frac{9}{4}+1\right|}{\sqrt{2}}=\frac{9}{2\sqrt{2}}$.

Diện tích $S=\frac{1}{2}\cdot 5\sqrt{2}\cdot \frac{9}{2\sqrt{2}}=\frac{45}{4}$. Vậy $a=45$, $b=4$, $a\cdot b=180$, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Đường cao $CH:x-y+1=0$ (hệ số góc $1$) là đường vuông góc xuống $AB$, nên $AB$ có hệ số góc $-1$, đi qua $A(1;-2)$: $x+y+1=0$.

Phân giác trong tại $B$ là $BN:2x+y+5=0$. Phản xạ điểm $A$ qua $BN$: $d=\frac{2\cdot 1+(-2)+5}{2^2+1^2}=\frac{5}{5}=1$, nên $A^{\prime }=A-2\cdot 1\cdot (2;1)=(-3;-4)$. Điểm $A^{\prime }$ nằm trên đường thẳng $BC$.

$B$ là giao của $AB$ và $BN$: $x+y+1=0$, $2x+y+5=0\Rightarrow x=-4,y=3$, tức $B(-4;3)$.

$BC$ đi qua $B(-4;3)$ và $A^{\prime }(-3;-4)$: hệ số góc $\frac{-4-3}{-3+4}=-7$, phương trình $7x+y+25=0$.

$C=BC\cap CH$: thay $y=x+1$ vào $7x+y+25=0$: $8x+26=0\Rightarrow x=-\frac{13}{4},y=-\frac{9}{4}$. Vậy $C\left(-\frac{13}{4};-\frac{9}{4}\right)$.

Diện tích: $\overrightarrow{AB}=(-5;5)$, $\overrightarrow{AC}=\left(-\frac{17}{4};-\frac{1}{4}\right)$.
$$S=\frac{1}{2}\left|(-5)\left(-\frac{1}{4}\right)-5\left(-\frac{17}{4}\right)\right|=\frac{1}{2}\cdot \frac{90}{4}=\frac{45}{4}.$$

Vậy $a=45,b=4$ (tối giản), $a\cdot b=180$, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Vì đường cao từ B là ${\Delta }_1:x+3y-18=0$ nên $AC\perp {\Delta }_1$, suy ra $AC$ có hệ số góc $3$, tức $A,C$ thuộc đường thẳng hệ số góc $3$. Gọi $A(a;b)$, đường thẳng $AC$: $y=3x+k$ với $k=b-3a$. Giao với $d:2x-y+5=0$ ta được $C=(5-b+3a;15-2b+6a)$.

Vì $\widehat{BAC}=135^{\circ }$ và slope của $AC$ là $3$, đường thẳng $AB$ có hệ số góc $m$ thỏa $\frac{m-3}{1+3m}=\pm 1$, cho $m=-2$ hoặc $m=\frac{1}{2}$.

Trung trực của $BC$ là ${\Delta }_2:3x+19y-279=0$ nên $BC\perp {\Delta }_2$ (hệ số góc $BC=\frac{19}{3}$) và trung điểm của $BC$ thuộc ${\Delta }_2$.

Xét $m=-2$: giao của $AB:y-b=-2(x-a)$ với ${\Delta }_1$ cho $B=\left(\frac{3b+6a-18}{5};\frac{108-3b-6a}{15}\right)$.

• Điều kiện $BC$ có hệ số góc $\frac{19}{3}$: $\frac{9b-32a-39}{8b-9a-43}=\frac{19}{3}\Rightarrow 3a-5b+28=0$.

• Điều kiện trung điểm $M$ của $BC$ thuộc ${\Delta }_2$: $3(x_B+x_C)+19(y_B+y_C)=558\Rightarrow 119a-43b=132$.

Giải hệ: $a=4,b=8$. Khi đó $B=(6;4)$, $C=(9;23)$, kiểm tra $\cos (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\frac{2\cdot 5+(-4)\cdot 15}{\sqrt{20}\sqrt{250}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, đúng $\widehat{BAC}=135^{\circ }$.

Trường hợp $m=\frac{1}{2}$ cho nghiệm không nguyên và góc tại $A$ tính theo tia thực tế không thỏa $135^{\circ }$, nên loại.

Vậy $a^2+b=4^2+8=24$, khớp với đáp án của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Đường cao từ B là Δ₁: x + 3y − 18 = 0 có hệ số góc −1/3, nên AC ⊥ Δ₁ ⇒ hệ số góc của AC bằng 3. Vì góc BAC = 135° nên tan(BAC) = −1. Gọi hệ số góc của AB là m, ta có (m − 3)/(1 + 3m) = −1 ⇒ m = 1/2, hoặc (3 − m)/(1 + 3m) = −1 ⇒ m = −2.

Xét m = −2 (trường hợp cho góc tù 135° giữa hai vectơ): AB: y − b = −2(x − a). Giao với Δ₁: x + 3(b − 2x + 2a) − 18 = 0 ⇒ B = ((6a + 3b − 18)/5; (36 − 2a − b)/5).

AC: y = 3x − 3a + b, giao với d: 2x − y + 5 = 0 ⇒ C = (3a − b + 5; 6a − 2b + 15).

Vì Δ₂ là trung trực của BC nên: (1) trung điểm M của BC thuộc Δ₂; (2) BC ⊥ Δ₂, tức vectơ BC cùng phương (3; 19).

Từ C − B = ((9a − 8b + 43)/5; (32a − 9b + 39)/5) cùng phương (3; 19): 19(9a − 8b + 43) = 3(32a − 9b + 39) ⇒ 75a − 125b = −700 ⇒ 3a − 5b = −28.

Từ M = ((21a − 2b + 7)/10; (28a − 11b + 111)/10) thuộc Δ₂: 3(21a − 2b + 7) + 19(28a − 11b + 111) = 2790 ⇒ 595a − 215b = 660 ⇒ 119a − 43b = 132.

Giải hệ: a = (5b − 28)/3, thay vào: 595b − 3332 − 129b = 396 ⇒ 466b = 3728 ⇒ b = 8, a = 4. Vậy A(4; 8).

Kiểm tra: B = (6; 4), C = (9; 23); AB·AC = (2;−4)·(5;15) = −50, |AB||AC| = √20·√250 = 50√2 ⇒ cos = −√2/2 ⇒ góc A = 135° ✓; trung điểm BC = (7,5; 13,5): 3·7,5 + 19·13,5 = 279 ✓.

(Trường hợp m = 1/2 cho góc 45° giữa các vectơ AB, AC nên bị loại.)

Vậy a² + b = 16 + 8 = 24, khớp đáp án nguồn.