2.1. Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=2AD$ và tâm đối xứng là $I(2;2)$. Biết cạnh $AB$ đi qua điểm $M(2;4)$, cạnh $CD$ đi qua điểm $N(0;-2)$ và điểm $D$ có tung độ âm. Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật $ABCD$.

2.2. Cho hai đường tròn $(C_1):(x-4{)}^2+(y-1{)}^2=4$, $(C_2):(x-2{)}^2+(y-5{)}^2=10$. Viết phương trình đường thẳng $(d)$ đi qua điểm $I(7;-4)$ và cắt hai đường tròn trên theo hai dây cung bằng nhau.

(AI giải đề cho tôi)
**2.1.** Gọi $\vec{n}=(a;b)$ là vecto pháp tuyến chung của hai đường thẳng $AB$ và $CD$ ($AB\parallel CD$), với $|\vec{n}|=1$, $\vec{n}$ hướng từ đường thẳng $AB$ sang đường thẳng $CD$. Gọi $P,Q$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$; vì $I$ là tâm hình chữ nhật nên $I$ là trung điểm của $PQ$, tức $Q=2I-P$.

Khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB,CD$ (đi qua $M(2;4)$ và $N(0;-2)$) bằng $AD$:
$$AD=|\vec{n}\cdot (\overrightarrow{NM})|=|2a+6b|.$$
Vì $Q=P+AD\cdot \vec{n}$ và $Q=2I-P$ nên $P=I-\frac{AD}{2}\vec{n}$. Vì $P$ nằm trên đường thẳng $AB$ đi qua $M$ nên $\vec{n}\cdot (\overrightarrow{PM})=0$:
$$\left(2-\frac{AD}{2}a-2\right)a+\left(2-\frac{AD}{2}b-4\right)b=0\Rightarrow -\frac{AD}{2}-2b=0\Rightarrow AD=-4b.$$
Vậy $b<0$ và $-4b=|2a+6b|$.

• Trường hợp $-4b=2a+6b\Rightarrow a=-5b$: với $a^2+b^2=1$, $b<0$ ta được $\vec{n}=\left(\frac{5}{\sqrt{26}};-\frac{1}{\sqrt{26}}\right)$, $AD=\frac{4}{\sqrt{26}}$. Khi đó tính ra tọa độ $D$ đều có tung độ dương (bị loại).

• Trường hợp $-4b=-(2a+6b)\Rightarrow a=-b$: với $b<0$ ta được $\vec{n}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}};-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$, $AD=2\sqrt{2}$, $P=I-\sqrt{2}\vec{n}=(1;3)$, vecto chỉ phương $\vec{u}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}};\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$.

Các đỉnh: $A,B=P\mp \frac{AB}{2}\vec{u}=(1;3)\mp (2;2)$, và $D=A+AD\cdot \vec{n}$, $C=B+AD\cdot \vec{n}$. Để $D$ có tung độ âm, chọn $A(1;3)-(2;2)=(-1;1)$, khi đó:
$$A(-1;1),B(3;5),C(5;3),D(1;-1).$$
Kiểm tra: $AB=4\sqrt{2}=2\cdot AD=2\cdot 2\sqrt{2}$ ✓; $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=(4;4)\cdot (2;-2)=0$ ✓; trung điểm $AC=(2;2)=I$ ✓; đường thẳng $AB$ (qua $(-1;1)$, vt $(1;1)$) đi qua $M(2;4)$ ✓; đường thẳng $CD$ (qua $(1;-1)$, vt $(1;1)$) đi qua $N(0;-2)$ ✓; $D$ có tung độ $-1<0$ ✓.

**2.2.** Hai đường tròn có tâm $O_1(4;1)$, $R_1=2$ và $O_2(2;5)$, $R_2=\sqrt{10}$. Dây cung bằng nhau khi và chỉ khi khoảng cách từ tâm đến đường thẳng bằng nhau (lưu ý $R_1\ne R_2$ nên không thể là trung tuyến chung, và điều kiện khoảng cách bằng nhau là cần đủ).

Đường thẳng $(d)$ qua $I(7;-4)$: $ax+by+c=0$ với $7a-4b+c=0\Rightarrow c=-7a+4b$.

Khoảng cách từ $O_1$: $\frac{|4a+b+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|-3a+5b|}{\sqrt{a^2+b^2}}$; từ $O_2$: $\frac{|2a+5b+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|-5a+9b|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

Đặt bằng: $|-3a+5b|=|-5a+9b|$.

• $-3a+5b=-5a+9b\Rightarrow a=2b$: chọn $a=2,b=1,c=-10$, được $(d_1):2x+y-10=0$. Kiểm tra: $d(O_1,d_1)=\frac{|8+1-10|}{\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}<2$; $d(O_2,d_1)=\frac{|4+5-10|}{\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}<\sqrt{10}$ — cả hai đường tròn bị cắt, dây cung bằng nhau ✓.

• $-3a+5b=5a-9b\Rightarrow 8a=14b\Rightarrow a=\frac{7}{4}b$: chọn $a=7,b=4,c=-33$, được $(d_2):7x+4y-33=0$. Kiểm tra: $d(O_1,d_2)=\frac{|28+4-33|}{\sqrt{65}}=\frac{1}{\sqrt{65}}<2$; $d(O_2,d_2)=\frac{|14+20-33|}{\sqrt{65}}=\frac{1}{\sqrt{65}}<\sqrt{10}$ ✓.

Kết luận: $A(-1;1),B(3;5),C(5;3),D(1;-1)$; và $(d):2x+y-10=0$ hoặc $(d):7x+4y-33=0$.