Một trò chơi điện tử được thiết kế trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$. Một nhân vật Mario sẽ xuất phát từ gốc tọa độ $O$ và với đặc trưng $m$ là một số nguyên dương, nhân vật này sẽ thực hiện các bước nhảy có dạng parabol (xuất phát và tiếp đất tại các vị trí trên chiều dương của trục hoành), có khoảng cách từ điểm nhảy đến điểm tiếp đất cùng bằng $m$, ngoài ra độ cao các đỉnh parabol là không đổi và Mario có thể tùy chọn giá trị đặc trưng này. Bên dưới là hình minh họa với $m=3$.

[Hình cần kiểm tra lại: p1_f1]

Tìm tất cả các số nguyên dương $m$ sao cho Mario ăn được quả táo tại điểm có tọa độ $(30;4)$ tại lượt nhảy thứ 5; đồng thời ứng với $m$ tìm được, viết phương trình quỹ đạo chuyển động của Mario trong lượt nhảy đầu tiên.

(AI giải đề cho tôi)
Phân tích: mỗi lượt nhảy là một parabol có hai nghiệm liên tiếp trên trục hoành, khoảng cách (theo phương ngang) từ điểm nhảy đến điểm tiếp đất bằng $m$, đỉnh parabol có độ cao không đổi $h$ (Mario được chọn $h$). Nhảy thứ nhất xuất phát từ $O(0;0)$ nên lượt nhảy thứ $k$ trải trên đoạn $[(k-1)m;km]$ trên trục hoành.

Để Mario ăn quả tại $(30;4)$ ở lượt nhảy thứ 5, điểm $x=30$ phải nằm trong khoảng nhảy thứ 5, tức $(4m;5m)$ (lấy nghiệm trong vì tại hai đầu mút $y=0\ne 4$):
$$4m<30<5m⟺6<m<7,5.$$
Vì $m$ nguyên dương nên $m=7$ (kiểm tra: $m=6$ cho $30=5m$ là điểm tiếp đất, $y=0$, loại).

Với $m=7$: lượt nhảy thứ 5 đi từ $x=28$ đến $x=35$, parabol có dạng $y=a(x-28)(x-35)$. Tại $x=30$, $y=4$:
$$a(30-28)(30-35)=-10a=4⟺a=-\frac{2}{5}.$$
Đỉnh parabol tại $x=31,5$ có độ cao $y=-\frac{2}{5}(31,5-28)(31,5-35)=\frac{2}{5}\cdot 12,25=4,9$, đúng là hằng số với mọi lượt nhảy.

Lượt nhảy đầu tiên đi từ $x=0$ đến $x=7$, cùng hệ số $a=-\frac{2}{5}$ (cùng độ cao đỉnh):
$$y=-\frac{2}{5}x(x-7)=-\frac{2}{5}{x}^2+\frac{14}{5}x,0\le x\le 7.$$
Kiểm tra: $y(0)=y(7)=0$; đỉnh tại $x=3,5$, $y=4,9$ trùng độ cao đỉnh của lượt nhảy thứ 5. Vậy $m=7$ và quỹ đạo lượt nhảy đầu tiên là $y=-\frac{2}{5}{x}^2+\frac{14}{5}x$ với $0\le x\le 7$.