Trên một bàn cờ vua hình vuông kích thước $8\times 8$, mỗi ô vuông ghi một số từ 1 đến 64 (các số chỉ ghi đúng một lần). Bạn Tuấn chơi một trò chơi như sau: Xóa hai số $a,b$ trong hai ô vuông và ghi lại số $a^2-b^2$ vào một trong hai ô đó. Cứ tiếp tục như thế... Chứng minh rằng sau 63 lần thực hiện như vậy thì số còn lại trên bàn cờ chia hết cho 4.

(AI giải đề cho tôi)
Ta sẽ chỉ ra một cách chơi để sau đúng 63 lần thao tác, số còn lại chia hết cho 4.

Nhận xét then chốt: với mọi số nguyên $n$ thì $n^2\equiv 0$ hoặc $1(\mathrm{mod}4)$ (cụ thể $n$ chẵn thì $n^2\equiv 0(\mathrm{mod}4)$, $n$ lẻ thì $n^2\equiv 1(\mathrm{mod}4)$). Do đó nếu $a,b$ cùng tính chẵn lẻ thì $a^2-b^2\equiv 0(\mathrm{mod}4)$.

Bước 1 (32 lần thao tác): Trên bàn cờ có các số $1,2,\dots ,64$, trong đó có 32 số lẻ và 32 số chẵn. Ta ghép 32 số lẻ thành 16 cặp, và 32 số chẵn thành 16 cặp (mỗi cặp gồm hai số cùng tính chẵn lẻ). Với mỗi cặp $(a,b)$, xóa $a,b$ và ghi $a^2-b^2$ vào một trong hai ô. Vì $a,b$ cùng tính chẵn lẻ nên $a^2-b^2\equiv 0(\mathrm{mod}4)$. Sau 32 lần thao tác, trên bàn cờ còn 32 số, và mỗi số đều chia hết cho 4.

Bước 2 (31 lần thao tác): Bây giờ mọi số trên bàn cờ đều có dạng $4x$. Nếu ta xóa hai số $a=4x,b=4y$ và ghi $a^2-b^2=16(x^2-y^2)$ thì số mới cũng chia hết cho 4. Vậy tính chất 'mọi số trên bàn cờ đều chia hết cho 4' là bất biến dưới phép toán. Thực hiện thêm 31 lần thao tác (mỗi lần giảm số ô đi 1), sau 31 lần còn đúng 1 số, và số đó vẫn chia hết cho 4.

Tổng cộng ta đã thực hiện $32+31=63$ lần thao tác, và số còn lại trên bàn cờ chia hết cho 4. Đpcm.