Gọi $X$ là tập hợp tất cả các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc tập $X$.

a) Tính xác suất để số được chọn có tổng các chữ số là một số chính phương.

b) Tính xác suất để số được chọn có tích các chữ số là một số chính phương.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau: chữ số hàng trăm có 9 cách (1–9), hàng chục 9 cách, hàng đơn vị 8 cách, nên |X| = 9·9·8 = 648.

a) Tổng ba chữ số nhỏ nhất là 0+1+2 = 3, lớn nhất là 9+8+7 = 24, nên tổng là số chính phương khi tổng thuộc {4; 9; 16}.
• Tổng = 4: chỉ có bộ chữ số {0;1;3}. Số hoán vị có hàng trăm khác 0: 6 − 2 = 4 số.
• Tổng = 9: các bộ {0;1;8}, {0;2;7}, {0;3;6}, {0;4;5}, {1;2;6}, {1;3;5}, {2;3;4}. Bộ chứa 0 (4 bộ) mỗi bộ cho 4 số; bộ không chứa 0 (3 bộ) mỗi bộ cho 6 số. Tổng: 4·4 + 3·6 = 34 số.
• Tổng = 16: các bộ {0;7;9}, {1;6;9}, {1;7;8}, {2;5;9}, {2;6;8}, {3;4;9}, {3;5;8}, {3;6;7}, {4;5;7}. Bộ chứa 0 (1 bộ) cho 4 số; 8 bộ còn lại mỗi bộ 6 số. Tổng: 4 + 8·6 = 52 số.
Số trường hợp thuận: 4 + 34 + 52 = 90. Xác suất P(a) = 90/648 = 5/36.

b) Nếu số có chứa chữ số 0 thì tích ba chữ số bằng 0 = 0² là số chính phương: có 9·2·8 = 144 số.
Xét các chữ số khác 0, phân loại theo phần không chính phương (squarefree): nhóm sf=1: {1;4;9}; sf=2: {2;8}; sf=3: {3}; sf=5: {5}; sf=6: {6}; sf=7: {7}. Tích ba chữ số là chính phương khi các sf nhân lại thành chính phương, các bộ thỏa mãn:
• {1;4;9} (ba số nhóm sf=1), tích 36;
• một số từ {1;4;9} cùng với {2;8}: {1;2;8}, {4;2;8}, {9;2;8} (tích 16; 64; 144);
• sf dạng 2·3·6 = 36: {2;3;6}, {8;3;6} (tích 36; 144).
Vậy 6 bộ, mỗi bộ cho 6 số (không có chữ số 0): 36 số.
Số trường hợp thuận: 144 + 36 = 180. Xác suất P(b) = 180/648 = 5/18.