Trong mặt phẳng $Oxy$, cho tam giác $ABC$ với $A(1;-2)$, đường cao $CH:x-y+1=0$, phân giác trong $BN:2x+y+5=0$. Diện tích của tam giác $ABC$ bằng $\frac{a}{b}$ $(a,b\in {\mathbb{N}}^{\ast },\frac{a}{b}$ là phân số tối giản$)$. Tính $a.b$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường cao $CH:x-y+1=0$ (hệ số góc $1$) là đường vuông góc xuống $AB$, nên $AB$ có hệ số góc $-1$, đi qua $A(1;-2)$: $x+y+1=0$.

Phân giác trong tại $B$ là $BN:2x+y+5=0$. Phản xạ điểm $A$ qua $BN$: $d=\frac{2\cdot 1+(-2)+5}{2^2+1^2}=\frac{5}{5}=1$, nên $A^{\prime }=A-2\cdot 1\cdot (2;1)=(-3;-4)$. Điểm $A^{\prime }$ nằm trên đường thẳng $BC$.

$B$ là giao của $AB$ và $BN$: $x+y+1=0$, $2x+y+5=0\Rightarrow x=-4,y=3$, tức $B(-4;3)$.

$BC$ đi qua $B(-4;3)$ và $A^{\prime }(-3;-4)$: hệ số góc $\frac{-4-3}{-3+4}=-7$, phương trình $7x+y+25=0$.

$C=BC\cap CH$: thay $y=x+1$ vào $7x+y+25=0$: $8x+26=0\Rightarrow x=-\frac{13}{4},y=-\frac{9}{4}$. Vậy $C\left(-\frac{13}{4};-\frac{9}{4}\right)$.

Diện tích: $\overrightarrow{AB}=(-5;5)$, $\overrightarrow{AC}=\left(-\frac{17}{4};-\frac{1}{4}\right)$.
$$S=\frac{1}{2}\left|(-5)\left(-\frac{1}{4}\right)-5\left(-\frac{17}{4}\right)\right|=\frac{1}{2}\cdot \frac{90}{4}=\frac{45}{4}.$$

Vậy $a=45,b=4$ (tối giản), $a\cdot b=180$, khớp đáp án nguồn.