Cho đường thẳng ${\Delta }_m:(m-2)x+(m+1)y-5m+1=0$ với $m$ là tham số, và điểm $A(-3;9)$. Giả sử $m=\frac{a}{b}$ (là phân số tối giản) để khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng ${\Delta }_m$ là lớn nhất. Khi đó hãy tính giá trị của biểu thức $S=2a-b$.

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại ${\Delta }_m:m(x+y-5)+(-2x+y+1)=0$, họ đường thẳng luôn đi qua điểm cố định $P(2;3)$ (giải $x+y-5=0$, $-2x+y+1=0$). Khoảng cách từ $A(-3;9)$ đến ${\Delta }_m$ lớn nhất khi ${\Delta }_m\perp AP$. Vectơ $\overrightarrow{AP}=(5;-6)$ nên hệ số góc của $AP$ là $-6/5$, do đó hệ số góc của ${\Delta }_m$ là $5/6$. Đường thẳng qua $P(2;3)$ có hệ số góc $5/6$: $y-3=\frac{5}{6}(x-2)\iff 5x-6y+8=0$. So sánh với $(m-2)x+(m+1)y-5m+1=0$: $\frac{m-2}{5}=\frac{m+1}{-6}\Rightarrow -6(m-2)=5(m+1)\Rightarrow m=\frac{7}{11}$ (kiểm tra: $-5\cdot \frac{7}{11}+1=-\frac{24}{11}$, tỉ số $\frac{-24/11}{8}=-\frac{3}{11}=\frac{7/11-2}{5}$ đúng). Vậy $a=7,b=11$, $S=2a-b=14-11=3$, khớp đáp án nguồn.