Cho biểu thức $f(x)=(m-2)x^2-2(m-1)x+3$. Xét tính đúng - sai của các mệnh đề sau:

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=(m-2)x^2-2(m-1)x+3$.
a) Đúng. Khi $m\ne 2$, hệ số của $x^2$ là $m-2\ne 0$ nên $f(x)$ là tam thức bậc hai.
b) Đúng. Với $m=2$: $f(x)=-2x+3=0\Rightarrow x=\frac{3}{2}$ (có nghiệm). Với $m\ne 2$: ${\Delta }^{\prime }=(m-1{)}^2-3(m-2)=m^2-5m+7$ có ${\Delta }_m=25-28=-3<0$ nên ${\Delta }^{\prime }>0$ với mọi $m$, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. Vậy với mọi $m$, $f(x)=0$ đều có nghiệm.
c) Sai. Khi $m=3$: $f(x)=x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$ có hai nghiệm $x=1,x=3$, nên $f(1)=0$, không luôn dương.
d) Sai. Để $f(x)<0\forall x\in \mathbb{R}$ với $m\ne 2$ cần $a=m-2<0$ và ${\Delta }^{\prime }<0$, tức $m<2$ và $m^2-5m+7<0$; nhưng $m^2-5m+7>0$ với mọi $m$ (vì ${\Delta }_m=-3<0$), nên không tồn tại $m$. Với $m=2$, $f(x)=-2x+3$ không luôn âm. Vậy không có $m$ nào để $f(x)$ luôn âm, mệnh đề 'khi và chỉ khi $m\le 2$' sai. Kết quả khớp đáp án nguồn: Đ-S-S-S (DDSS).
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $m\ne 2$, hệ số $m-2\ne 0$ nên $f(x)$ là tam thức bậc hai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$m=2$: phương trình bậc nhất có nghiệm $x=\frac{3}{2}$. $m\ne 2$: ${\Delta }^{\prime }=m^2-5m+7>0$ với mọi $m$ vì ${\Delta }_m=-3<0$, luôn có nghiệm.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=3$: $f(x)=x^2-4x+3$ có nghiệm $x=1,3$ nên $f(1)=0$, không luôn dương.
d) (AI giải đề cho tôi)
Cần $m-2<0$ và ${\Delta }^{\prime }=m^2-5m+7<0$, nhưng ${\Delta }^{\prime }>0$ với mọi $m$; với $m=2$ thì $f(x)=-2x+3$ không luôn âm. Không tồn tại $m$ thỏa, nên mệnh đề sai.